1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

c) f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1 e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Analisando a função f x , y , temos que para obter o domínio, temos que identificar como a função pode ser definida.

Primeiramente, vemos que que a função se trata de uma fração e o que sabemos é que o denominador de uma fração deve ser diferente de 0 para que essa fração exista.

Porém, o denominador dessa fração é dado por x 2 + y 2 - 1 e sabemos que o conteúdo de uma raiz tem que ser maior ou igual a 0 para que haja um resultado real.

Com isso, para que a função exista, o conteúdo da raiz tem que ser maior que 0

x 2 + y 2 - 1 ≥ 0

x 2 + y 2 ≥ 1

Escrevendo isso de uma forma mais bonitinha, temos

D o m f = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≥ 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora para esboçar o gráfico de f , podemos usar os métodos que vimos no passo 1.

Começando pelo método dos níveis, temos que fazer f x , y = k , onde k representa um nível em z (uma altura no eixo z ).

f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1 = k

x 2 + y 2 - 1 = 1 k

x 2 + y 2 - 1 = 1 k 2

x 2 + y 2 = 1 + 1 k 2

Para k = 1 , temos

k = 1 → x 2 + y 2 = 1 + 1 1 2 = 2

Para k = 5

k = 5 → x 2 + y 2 = 1 + 1 5 2 = 26 25

Para k = 1 2

k = 1 2 → x 2 + y 2 = 1 + 1 1 2 2 = 5

Esboçando cada curva em sua respectiva altura z = k , temos

Assim podemos perceber que quanto maior k , mais próximo de x 2 + y 2 = 1 nos estamos e quando k diminui, o raio da circunferência aumenta.

Portanto podemos esboçar o gráfico de f como

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≥ 1

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1