1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

i) f x = 1 - e x 2 1 - e 1 - x 2

Passo 1

Faala, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, eu sei…

Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha:

Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?

Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida.

Aqui vai uma dica bem valiosa sobre esse tipo de exercício. Como temos uma fração, já temos uma condição a ser observada. O denominador nunca poderá ser 0 !

É uma boa maneira de avaliar se há exceções para o nosso domínio. Então:

1 - e 1 - x 2 ≠ 0

Resolvendo:

1 ≠ e 1 - x 2

ln ⁡ 1 ≠ ln ⁡ e 1 - x 2

0 ≠ 1 - x 2

x 2 ≠ 1

x ≠ ± 1

Legal, já encontramos duas exceções!

Olhando para o numerador, não há nenhuma exceção a ser encontrada. Portanto o domínio da nossa função é:

D f x = x x ≠ 1 ,   - 1 }

O domínio é todo x diferente de - 1 e 1 .

Passo 3

Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.

Começando a análise, vamos verificar se há alguma chance da nossa função resultar em 0 . Para que isso aconteça, nosso denominador deve ser igual a 0 :

1 - e x 2 = 0

e x 2 = 1

ln ⁡ e x 2 = ln ⁡ 1

x 2 = 0

x = 0

Então, quando x = 0 , nossa imagem é 0 .

E entre x = - 1   e x = 1 , os valores vão para o infinito positivo.

Já para os números negativos, temos um valor mínimo de x que representa o primeiro valor negativo da nossa imagem.

Quando x = 1,259 , y = - 8,759 .

Desse valor de y que encontramos, a imagem vai para o infinito negativo. Concluímos isso quando comparamos numerador e denominador.

Portanto, nossa imagem é:

I m = - ∞ ,   - 8,759 ∪ [ 0 ,   + ∞ )

Morri mas passo bem depois dessa questão longa!

Mas a sensação de conseguir fazer é bom demais, fala aí! Vamos pra próxima então?

Resposta

D f x = x x ≠ 1 ,   - 1 }

I m = - ∞ ,   - 8,759 ∪ [ 0 ,   + ∞ )

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