1. Caso existam, defina as funções f + g , f g , ( f o g ) e ( g o f ) nos casos dados a seguir. Em cada caso, determine o domínio da função resultante.

(a) f x = x ; g x = x 2 + 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos duas funções f x = x e g x = x 2 + 1 e nosso objetivo é calcular f + g , f g , ( f o g ) e ( g o f ) .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para obter f + g , simplesmente somamos os termos de f com os termos de g .

Já para obter f / g , dividimos os termos de f pelos termos de g .

Agora, para obter as funções compostas f o g e g o f , substituímos x por g x em f x para obter f o g e substituímos x por f x em g x para obter g o f .

Depois de obter esses resultados, ainda temos que determinar o seu domínio, ou seja, os possíveis valores para x .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter f + g , somando f x + g x , temos

f + g = x + x 2 + 1

f + g = x 2 + x + 1

Nesse caso, o domínio da função resultante são todos os números reais maiores que 0 ou o próprio 0 já que raiz de números negativos não existem no conjunto dos reais.

D o m f + g = x ∈ R x ≥ 0

Agora vamos obter f / g , fazendo f x / g x

f g = x x 2 + 1

f g = x x 2 + 1

O mesmo serve para esse caso, porém, com uma diferença... agora temos uma fração que o denominador não pode ser 0 , já que divisão por 0 não existe. Mas como x no denominador está elevado ao quadrado, é impossível que o denominador resulte em 0

D o m f g = x ∈ R x ≥ 0

Dessa vez vamos obter f o g , substituindo x por g x em f x

f o g = g x

f o g = x 2 + 1

Aqui o conteúdo dentro da raiz deve ser maior que 0 , mas como x está elevado ao quadrado, não há valores para x que faça com que x 2 + 1 seja igual a 0 . Logo o domínio de f o g é qualquer valor de x

D o m f o g = x ∈ R

E por fim, vamos obter g o f substituindo x por f x em g x

g o f = f x 2 + 1

g o f = x 2 + 1

g o f = x + 1

E o mesmo serve aqui, não há proibições para x , então ele pode assumir qualquer valor

D o m g o f = x ∈ R

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f + g = x 2 + x + 1 → D o m f + g = x ∈ R x ≥ 0 f g = x x 2 + 1 → D o m f g = x ∈ R x ≥ 0 f o g = x 2 + 1 → D o m f o g = x ∈ R g o f = x + 1 → D o m g o f = x ∈ R

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