Diga quais dos conjuntos abaixo representam uma função com domínio A = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 } e contradomínio B = Z . Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.

(a) { - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   0 ,   0 ,   4 }

(b) { - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   0 ,   0 ,   4 ,   ( 2 ,   0 ) }

(c) { - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   0 ,   4 }

(d) { - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   - 2 , 4 ,   0 ,   0 ,   4 }  

(e) - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   2 / 3 ,   ( 0 ,   4 )

(f) - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   2 / 3 ,   0 ,   4 ,   ( 3 ,   3 )

(g) x ,   x + 1   x ∈ A }

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função cujo domínio é o conjunto A = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 } e cujo contradomínio é o conjunto dos números inteiros, B = Z . Ele pediu pra gente verificar quais dos conjuntos de ( a ) a ( g ) representam essa função e determinar o conjunto imagem.

Galera, para que seja uma função todos os elementos do domínio precisam ter um correspondente no contradomínio. A gente não pode ter um elemento no conjunto A que não tenha correspondente ou que tenha mais de um correspondente no conjunto B .

Como o nosso domínio já foi definido, vamos olhar nos conjuntos de pares ordenados ( x ,   y ) , onde os elementos do domínio aparecem como x . E o nosso contradomínio, representado por y , vai ter somente números inteiros, não fracionários, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Lembrando, nosso domínio são todos os valores que x pode assumir, no caso A = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 } . Olhando para o conjunto ( a ) :

{ - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   0 ,   0 ,   4 }

Vamos pegar os elementos x nos pares ordenados ( x ,   y ) . Temos:

D = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 }

Que é igual ao nosso conjunto A . Até aí tudo certo, agora vamos ver o contradomínio:

C D = { 2 ,   3 ,   0 , �� 4 }

São todos números inteiros. Cada elemento do domínio tem apenas um correspondente no contradomínio, então o conjunto representa nossa função e tem imagem I m = { 2 ,   3 ,   0 ,   4 } .

Passo 3

No item b), temos:

{ - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   0 ,   0 ,   4 ,   ( 2 ,   0 ) }

Vamos desenhar um diagrama de flechas pra ficar mais claro a relação entre os pares ordenados:

Repare que tem duas flechas saindo do 2 . E para que seja uma função todos os elementos do domínio precisam ter um único correspondente no contradomínio. Então, o conjunto não é função.

Passo 4

Na letra ( c ) , temos:

{ - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   0 ,   4 }

Na posição x , temos: { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 } , e na posição y temos: { 2 ,   3 ,   4 } . Definimos o nosso domínio D = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 } . Cada elemento do domínio possui um único correspondente em { 2 ,   3 ,   4 } . Então, temos uma função, cuja imagem é igual ao contradomínio I m = { { 2 ,   3 ,   4 } .

Mas o domínio dessa função não contém todos os elementos do conjunto A , então não satisfaz a nossa condição.

Passo 5

Na letra ( d ) , temos:

{ - 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   - 2 , 4 ,   0 ,   0 ,   4 }

Onde definimos o domínio D = - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 , que é igual a A . Cada um dos elementos do domínio tem apenas um elemento correspondente no contradomínio, que também é a imagem I m = { - 2 ,   0 ,   2 ,   3 ,   4 } , que pertence aos números inteiros. Então, ela representa nossa função.

Passo 6

Na letra ( e ) , temos:

- 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   2 / 3 ,   ( 0 ,   4 )

O domínio é D = - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 também. E o contradomínio é C D = I m = 2 3 , 2 ,   3 ,   4 , que não faz parte do conjunto dos números inteiros, porque possui um número fracionário. Portanto, não representa nossa função.

Passo 7

Em ( f ) , temos:

- 1 ,   2 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   2 / 3 ,   0 ,   4 ,   ( 3 ,   3 )

Que tem por domínio D = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 } que é diferente do nosso conjunto A . Além disso, sua imagem é dada por I m = 2 3 , 2 ,   3 ,   4 , que também não pertence aos números inteiros, portanto, também não representa nossa função.

Passo 8

Em ( g ) , temos x ,   x + 1   x ∈ A } . Repare que os elementos de x pertencem ao conjunto A , então podemos definir o domínio D = { - 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   4 } . A imagem é dada por x + 1 , então:

I m = { - 1 + 1 ,   0 + 1 ,   1 + 1 ,   2 + 1 ,   4 + 1 }

I m = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   5 }

Que são todos números inteiros, logo, representa nossa função.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a ,   d ,   ( g )

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