O volume do domínio da função f x , y , z = 1 - z ² - x y z 4 + 4 - y ² + 4 - x ² é

a. 1 6 π

b. 3 2

c. 8 π

d. 8

e. 4 2

f. 16

g. 16 2

h. 4

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro, o que seria o domínio de uma função? São todos os valores possíveis que as variáveis daquela função podem ter, então a gente precisa analisar se existem restrições.

f x , y , z = 1 - z ² - x y z 4 + 4 - y ² + 4 - x ²

O numerador de uma fração pode ter qualquer valor, então a gente pode analisar direto cada termo do numerador.

Vamos começar analisando 1 - z ² . Como temos uma raiz, ela tem que ser maior ou igual a 0, então:

1 - z ² ≥ 0

1 - z ² ≥ 0

z ² ≤ 1

- 1 ≤ z ≤ + 1

Agora vamos analisar x y z . Assim como no de cima, ela tem que ser maior ou igual a 0:

x y z ≥ 0

x y z ≥ 0

Passo 2

Ok, agora, vamos analisar o denominador. No caso, temos que lembrar que o denominador tem que ser diferente de zero pois não podemos dividir nada por zero.

4 + 4 - y ² + 4 - x ²   ≠ 0

E ai que entra algo muito legal. O nosso denominador vai ser sempre maior do que zero. Por que? Pois nós temos 2 raizes somando ainda com o 4, e como nós vimos la no passo 1, as raízes tem que ser maiores ou igual a zero. Se as raízes forem iguais a zero, vamos ter 4 + 0 + 0 = 4. Show?

Beleza, então já confirmamos que o denominador vai ser sempre maior do que zero, agora vamos ter que analisar as restrições de cada termo.

Vamos pegar primeiro o 4 - y ² :

4 - y ² ≥ 0

4 - y ² ≥ 0

y ² ≤ 4

- 2 ≤ y ≤ + 2

Agora vamos para o termo 4 - x ² :

4 - x ² ≥ 0

4 - x ² ≥ 0

x ² ≤ 4

- 2 ≤ x ≤ + 2

Passo 3

Beleza galera, vamos analisar aqui tudo o que conseguimos encontrar

- 2 ≤ x ≤ + 2

- 2 ≤ y ≤ + 2

- 1 ≤ z ≤ + 1

x y z ≥ 0

Reparem que se a gente for olhar as coordenadas, nós vamos ter uma base quadrada em função do x e y, com lado igual a 4 (pois de -2 até +2 há uma diferença de 4 unidades)

E vamos ter uma altura em função de z igual a 2 (pois de -1 ate +1 há uma diferença de 2 unidades):

Se a gente for calcular esse volume, vamos usar a regra básica:

V = A × h

V = x y × z

V = 4.4 × 2 = 32

É isso, acabamos? NÃÃO. Temos uma condição que não podemos ignorar que foi determinada lá no Passo 1:

x y z ≥ 0

Então precisamos determinar quando que x y z ≥ 0

Passo 4

Muito bem, vamos analisar todos os cenários possíveis quando temos o produto de 3 variáveis. Lembrando que cada variável pode ou ser positiva ou negativa:

+ + + =   +

- - - = -

+ + - = -

+ - + = -

+ - - = +

- + + = -

- + - = +

- - + = +

Se a gente for reparar no nosso esquema, as únicas combinações que satisfazem a nossa condição vão ser:

+ + + =   +

+ - - = +

- + - = +

- - + = +

Olha que interessante. Temos um total de 8 combinações possíveis e dessas 8, metade satisfazem a condição, certo? Se o volume total que a gente calculou no passo anterior seria com as 8 combinações, metade das combinações vão representar metade do volume. Então:

V = 32 2 = 16

Resposta

16

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