Suponha que T seja encontrado a partir da fórmula T = x ( e y + e - y ) , onde seja determinando que x e y sejam 2 e ln ⁡ 2 com erros máximos possíveis de d x = 0,01 d y = 0,2 . Calcule o erro máximo possível no valor computado de T .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função T = x ( e y + e - y ) com o erro máximo possível em relação a x , sendo d x = 0,01 , e o erro máximo em relação a y , que é d y = 0,2 . Ele quer saber qual vai ser o erro máximo total no valor da função. Como a gente calcula isso?

Nós vamos precisar lembrar que para encontrar o erro máximo de uma função z = f ( x , y ) , nós temos que resolver a diferencial:

d T = T x x , y d x + T y x , y d y

Onde d T é o erro da função, T x e T y são as derivadas parciais dela e d x e d y são os erros das medidas x e y .

Então, o que nós precisamos fazer é derivar nossa função, aplicar os pontos x = 2 e y = ln ⁡ 2 (que o enunciado nos deu) e avaliar o erro máximo considerando d x e d y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial da função T = x ( e y + e - y ) em relação a x . Lembra que aqui nós temos o produto de duas funções e que nós vamos considerar y constante nessa primeira derivação.

Calculando, temos:

T x = e y + e - y

Agora vamos considerar x constante e calcular a derivada parcial em relação a y :

T y = x ( e y - e - y )

Beleza, agora vamos juntar tudo na fórmula do erro máximo:

d T = T x x , y d x + T y x , y d y

d T = e y + e - y d x + x ( e y - e - y ) d y

Mas ele me disse que x = 2 e y = ln ⁡ 2 , então vamos aplicar esses pontos:

d T = e ln ⁡ 2 + e - ln ⁡ 2 d x + 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2

Pela propriedade dos logaritmos, temos:

d T = 2 + 1 2 d x + 2 2 - 1 2 d y

d T = 2,5 d x + 3,0 d y

Agora, vamos analisar. Se d x ≤ 0,1 e d y ≤ 0,02 , então o máximo erro possível no valor computado de T vai ser:

d T = 2,5 0,1 + ( 3,0 ) ( 0,02 )

d T = 0,31

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

d T = 0,31

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