2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

a) f t = 2 t + t 2

Passo 1

Opa pessoas lindas desse mundãooo do Responde Aí!! Leu esse enunciado e ficou um pouco confuso?

Calma, vamos resolver juntos com muito amor e carinho hehehehehe. Vamos que vamos!!

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e construir o gráfico da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio de uma função? E como se constrói um gráfico?

Bem, para entendermos o que é um domínio, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já para a construção do gráfico, usaremos métodos específicos para cada função, levando em consideração algumas simplificações possíveis e características do grau e forma da função.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de t . Aqui procuramos se há algum valor de t que torna a função impossível de ser resolvida.

Olhando para essa nossa função, percebemos que todos os valores reais servem. Em outras palavras, não há nenhum valor para t que torne a função imprópria.

Ou seja, o nosso domínio são todos os valores reais:

D f t = t ∈ R

Passo 3

Agora, para o gráfico, vamos começar identificando qual é o tipo dessa função.

Nesse exercício, temos uma função do segundo grau. Isso fica claro quando observamos t 2 . Como é uma função do segundo grau, o formato do gráfico será uma parábola. E como o número que acompanha o termo quadrado é positivo (imagine que existe o número + 1 multiplicando t 2 ), a concavidade desse gráfico será virada para cima.

Agora precisamos encontrar alguns pontos que nos ajudem a construir esse gráfico.

Como estamos falando de uma parábola, podemos calcular seu vértice. Esse é o ponto mais abaixo da parábola, onde há a mudança de sentido do gráfico.

Para encontrarmos o t do vértice podemos utilizar:

t v = - b 2 a

Esses termos a e b são os números que acompanham os termos quadráticos e lineares da nossa função, respectivamente. Então a = 1 e b = 2 .

t v = - 2 2 * 1 = - 1

Agora que sabemos que em t = - 1 temos o vértice, vamos encontrar seu y v .

y v = 2 * - 1 + ( - 1 2 )

y v = - 2 + 1 = - 1

Legal! O ponto ( - 1 ,   - 1 ) é o vértice.

Agora podemos considerar f t = 0 . Assim encontraremos em quais pontos o gráfico corta o eixo t .

2 t + t 2 = 0

t t + 2 = 0

t = 0

t + 2 = 0

t = - 2

Então, nos pontos ( 0 ,   0 ) e ( - 2 ,   0 ) o gráfico corta o eixo t .

Só para referenciar melhor nosso gráfico, podemos considerar f t = 3 e assim encontraremos outros dois pontos pertencentes ao gráfico:

2 t + t 2 = 3

Reescrevendo:

t 2 + 2 t - 3 = 0

Resolvendo por soma e produto:

t = - 3

t = 1

Portanto os pontos ( - 3 ,     3 ) e ( 1 ,   3 ) fazem parte do gráfico. Agora ficou fácil criar o gráfico:

Uhuuuuul!! Terminamos essa questão monstrengozinha!

E aí?! O que acharam?

Prontos pra fazer mais uma e ficar com essa sensação top de que conseguimos? Hehehehe

Resposta

D f t = t ∈ R

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1