Seja f ( x ) = l n ( x 2 - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) . Determine o domínio de f , os valores de x onde a f se anula e os intervalos onde a f é positiva e onde a f é negativa.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos considerar a seguinte função

f ( x ) = l n ( x 2 - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

vamos analisar o formato dessa função e ver limitações sobre seu domínio (se existirem), e também, analisar o sinal da função em diferentes intervalos! Vamos verificar cada uma por vez, pois isso é bem caso a caso! Vem comigo!

Passo 2

Vamos verificar se existe alguma limitação sobre o domínio! Para isso, vamos considerar que estamos nos mantendo em um domínio real! Portanto, não podemos ter raízes de números negativos, ou seja, a seguinte relação deve ser obedecida

( x - 1 ) ( x + 3 ) > 0

note que não considerei a igualdade, já que não podemos ter divisões por zero! Distribuindo o produto acima, temos que

( x - 1 ) ( x + 3 ) > 0

Note que ( x - 1 ) é negativo para x < 1 e ( x + 3 ) é negativo para x < - 3 , os dois não podem ser negativos individualmente, mas não tem problema serem negativos juntos! Portanto, temos um intervalo excluído dado por

- 3 < x < 1

Mas, essa não é a única limitação sobre nosso domínio! No numerador temos a função

l n ( x 2 - 3 )

lembre-se que não existem logaritmos de números negativos, portanto, os nossos valores de x estão limitados a relação

x 2 - 3 > 0

ou resumindo, temos que

| x | > 3

ou

x < - 3 e x > 3

O que em conjunto com o intervalo que encontramos anteriormente nos dá o seguinte dominio

ⅅ = { x ∈ ℝ | ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) }

Maravilha! Temos o domínio! Vamos ver quando isso é positivo ou negativo agora!

Passo 3

O sinal da função é totalmente definido pelo sinal do logaritmo no numerador, já que a raiz no denominador nunca resultará em um número negativo. O logaritmo é nulo na seguinte condição

l n ( x 2 - 3 ) = 0

se, e somente se

x 2 - 3 = 1

portanto, quando tivermos que

x 2 = 4

ou, os seguintes valores x = ± 2 . Note que apenas x = + 2 está em nosso domínio. E, a função é negativa para

x 2 < 4

ou, quando | x | < 2 , o que nos dá o intervalo para uma função negativa como

- 2 < x < 2

que tem apenas uma pequena porção dentro do domínio quando

3 < x < 2

Portanto, a função é negativa apenas neste intervalo! O intervalo de positividade será o complementar ao acima, ou seja

x < - 2 ∪ x > 2

e, assim temos que a função é positiva sempre que

x < - 3 ∪ x > 2

já que tem um pequeno pedaço do intervalo de positividade que não pertence ao domínio da função! A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

ⅅ = { x ∈ ℝ | ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) }

Positiva em x < - 3 ∪ x > 2

Negativa em 3 < x < 2

Nula quando x = 2

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