Os gráficos abaixo representam funções. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu alguns gráficos de funções e pediu pra gente determinar o domínio e a imagem delas.

Lembrando que o domínio são todos os valores que x pode assumir na função e que a imagem são todos os valores que a variável dependente y irá assumir. Então, o que nós vamos fazer é encontrar esses intervalos para x e para y através dos pontos marcados no gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando o gráfico da letra a), temos:

Repare que de - ∞ até 0 , temos uma reta no terceiro quadrante, mas em x = 0 ela tem uma “bolinha aberta”, o que significa que ela não tá definida naquele ponto. Olhando a origem do gráfico, a gente vê que existe um ponto definido ( 0 ,   0 ) , que tá com a “bolinha fechada”. Em seguida, a gente passa a ter outra reta para os valores positivos de x .

Então, como nosso domínio são todos os valores possíveis de x e como x está definido para todos os valores reais no gráfico, temos:

D = x ∈ R   - ∞ < x < ∞ }

A imagem vão ser todos os valores que o x vai atingir no y . Observe que no intervalo ( - ∞ ,   0 ) , a função varia em ( - ∞ , -   2 ) , depois ela passa pelo ponto [ 0 ,   0 ] e segue variando em ( 2 ,   + ∞ ) . Então, nossa imagem é:

I m = y ∈ R     - ∞ , -   2 ∪ 0 ,   0 ∪   ( 2 ,   + ∞ ) }

Passo 3

Na letra b), temos:

Repara que x agora tá vindo de - 2 até 0 , com uma bolinha aberta, depois ele pula pra x = 0 e segue em outra reta de 0 até 2 . A gente só precisa ter atenção pra colocar o intervalo aberto onde a gente tem a bolinha aberta e o intervalo fechado na bolinha fechada. Assim, nosso domínio fica:

D = { - 2 ,   0 ∪ 0 ,   0 ∪ ( 0 ,   2 ) }

A imagem são todos os valores de y que a função atinge, então temos:

I m = { - 2 ,   0 ∪ 0 ,   0 ∪ 0 ,   2 }

Passo 4

Na letra c), temos:

Olhando o gráfico, a gente percebe que nossa função agora tá definida para todos os valores de x . Então, temos o domínio:

D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) }

E nossa imagem, que representa os valores de y , será:

I m = y ∈ R   - 3 ≤ y ≤ 3 }

Passo 5

Na letra d), temos:

Repare que primeiro temos x vindo de - ∞ até - 1 , depois temos uma reta horizontal de - 1 a 1 , e em seguida, o gráfico muda, variando de 1 a . Juntando tudo, vemos que x pode assumir qualquer número real e temos o domínio:

D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) }

E nossa imagem, que representa os valores de y , será:

I m = { - ∞ ,   - 1 ∪ - 1 ,   1 ∪ [ 1 ,   ∞ ) }

Passo 6

Na letra e), temos:

Temos uma reta infinita, que pode assumir qualquer valor real em x e y , então:

D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) }

I m = y ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) }

Passo 7

Na letra f), temos:

Temos x vindo de - ∞ até 0 , onde a função não tá definida, por temos uma bolinha aberta. Depois, a função continua de 0 , sem incluir o zero, até + ∞ . Então, temos o domínio:

D = { - ∞ ,   0 ∪ 0 , + ∞ }

Para y , nós temos um patamar em y = 2 , depois uma reta decrescente até 0 , sem incluir o zero. Em seguida, temos uma reta crescente de 0 a . Logo,

I m = { 2 ,   0 ∪ 0 ,   + ∞ }  

Passo 8

Em g), temos:

Temos os pontos - 2 ,   4 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   - 3 ,   1 ,   1 ,   ( 2 ,   - 1 ) . Logo, nosso domínio é definido por:

D = { - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 }

E nossa imagem, por:

I m = { 4 ,   1 ,   - 3 ,   - 1 }

Passo 9

Em h), temos:

Nossa reta tem os valores de x variando de - 2 até 1 , sem incluir o 1 . E y variando de 4 até - 2 . Logo, temos o domínio:

D = [ - 2 ,   1 )

E a imagem:

I m = ( - 2 ,   4 ]

Passo 10

Em i), temos:

Aqui x tá variando de - 2 até 2 , então nosso domínio será:

D = [ - 2 ,   2 ]

E para os valores de y , temos a imagem:

I m = [ - 1 ,   3 ]

Passo 11

Na letra j), temos:

Repara que nosso x tá variando de - 2 até 2 . Então, temos o domínio:

D = ( - 2 ,   2 )

E nossa imagem vai de - ∞ a , então:

I m = ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 12

Na letra k), temos:

Onde x tá indo de - 3 a 3 . Logo,

D = [ - 3 ,   3 ]

E nosso y vai de 0 até 2 , então:

I m = [ 0 ,   2 ]

Passo 13

Na letra l), temos:

Repare que nós temos uma função por partes, onde x vem de - ∞ atá - 1 , sem incluir o - 1 , depois passa pelo ponto ( - 1 ,   0 ) , e segue do ponto ( 0 ,   - 1 ) até . Então, nosso domínio será:

D = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 0 ,   ∞ )

E nosso y varia de - ∞ até 1 , depois y = 0 , e segue de y = - 1 até . Então, nossa imagem será:

I m = - ∞ ,   1 ∪ 1 ,   1 ∪ [ - 1 ,   ∞ )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) D = x ∈ R   - ∞ < x < ∞ } e I m = y ∈ R     - ∞ , -   2 ∪ 0 ,   0 ∪   ( 2 ,   + ∞ ) }

b) D = { - 2 ,   0 ∪ 0 ,   0 ∪ ( 0 ,   2 ) } e I m = { - 2 ,   0 ∪ 0 ,   0 ∪ 0 ,   2 }

c) D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) } e I m = y ∈ R   - 3 ≤ y ≤ 3 }

d) D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) } e I m = { - ∞ ,   - 1 ∪ - 1 ,   1 ∪ [ 1 ,   ∞ ) }

e) D = x ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) } e I m = y ∈ R       ( - ∞ ,   ∞ ) }

f) D = { - ∞ ,   0 ∪ 0 , + ∞ } e I m = { 2 ,   0 ∪ 0 ,   + ∞ }  

g) D = { - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 } e I m = { 4 ,   1 ,   - 3 ,   - 1 }

h) D = [ - 2 ,   1 ) e I m = ( - 2 ,   4 ]

i) D = [ - 2 ,   2 ] e I m = [ - 1 ,   3 ]

j) D = - 2 ,   2 e I m = ( - ∞ ,   ∞ )

k) D = [ - 3 ,   3 ] e I m = [ 0 ,   2 ]

l) D = - ∞ ,   - 1 ∪ [ 0 ,   ∞ ) e I m = - ∞ ,   1 ∪ 1 ,   1 ∪ [ - 1 ,   ∞ )

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