1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

b) f x , y = arctan ⁡ y x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = arctan ⁡ y x e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Nossa função é dada por f x , y = arctan ⁡ y x

O que sabemos é que arctan ⁡ θ existe para todo θ , a não ser que o θ não exista...

Assim, para a função f x , y existir, a razão entre y e x deve existir.

A única possibilidade que existe para essa razão não existir, é se o denominador foi 0 , assim, para f x , y existir, x tem que ser diferente de 0 . Ou seja

D o m f = f x , y ∈ R 2 x ≠ 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos usar as técnicas vistas no passo 1 para determinar o gráfico de f .

Primeiro vamos fixar x = 1 , assim, temos

x = 1 → f y = a c r t a n y

Para x = 3

x = 3 → f y = a c r t a n y 3

Para x = - 2

x = - 2 → f y = a c r t a n - y 2

E para y = 1

y = 1 → f x = arctan ⁡ 1 x

Esboçando essas curvas nos planos das variáveis fixas, temos

Quanto mais curvas esboçarmos, mas fácil é a visualização do gráfico da função.

Estimando o comportamento de f entre as curvas, temos

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 2 x ≠ 0

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1