Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 3 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

g )   f x , y = ln ⁡ ( x y - 1 )

Passo 1

E aí gente, como vocês estão?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

ln ⁡ x y - 1

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Vamos analisar a nossa função:

f x , y = l n ⁡ ( x y - 1 )

A função logarítmica possui uma restrição quanto ao logaritmando. Ele precisa ser sempre maior do que zero.

Assim:

x y - 1 > 0

∴ x y > 1

Logo:

y > 1 x

Portanto, o nosso domínio de f pode ser escrito como:

D f = x , y ∈ R 2     y > 1 x   }    

Esboçando essa região, temos:

Que representa justamente a região acima da hipérbole:

y = 1 x  

Excelente!

Passo 3

Analisando agora a imagem, vamos olhar de novo pra função:

f x , y = ln ⁡ ( x y - 1 )

O nosso logaritmando, isto é, a expressão:

x y - 1

Varia de 0 (com bola aberta em 1 ) até infinito. Assim, a imagem corresponde à imagem completa da função logarítmica. Que vai de:

( - ∞ , + ∞ )

Portanto:

I m f ∈ ( - ∞ , + ∞ )

E é isso!! Matamos mais um item 😊

Até a próxima!

Resposta

D f = x , y ∈ R 2     y > 1 x   }    

I m f ∈ ( - ∞ , + ∞ )

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1