Sempre que uma função não está bem definida (conforme exercício anterior), podemos fazer certas alterações para a tornar bem definida. Há, basicamente, três formas de fazer isso: (A) restringir o domínio, (B) aumentar o contradomínio ou (C) modificar a regra de formação. Para cada um dos itens do exercício anterior que não estão bem definidos, corrija a definição utilizando um dos três métodos acima, conforma no exemplo do item (a).

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu três formas de tornar uma função bem definida, restringindo o domínio, aumentando o contradomínio ou modificando a regra de formação. Nós vamos precisar aplicar um desses três métodos nas funções que não estão bem definidas do exercício anterior.

Vamos lá!

Passo 2

No exercício anterior temos três funções que não estão bem definidas:

a) f :   R →   R + dada por f x = 1 - x 2

d) f :   R →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1

f) f :   R →   R dada por f x é o número cujo quadrado é x

Na letra a), a expressão não está bem definida porque quando a regra é aplicada para todos os números do domínio, alguns dos resultados obtidos não estão no contradomínio. Podemos corrigir esse problema usando o método ( A ) e restringindo o domínio.

Os elementos do domínio cujas imagens não estão no contradomínio são os números menores que - 1 e os maiores que 1 . Descartando estes elementos do domínio, a função fica bem definida. Nesse caso, a forma corrigida pode ser f : - 1 ,   1 →   R + dada por f x = 1 - x 2 .

Passo 3

No item d), a expressão não está bem definida porque existem valores reais que x não pode assumir, porque zerariam o denominador. Usando novamente o método ( A ) e restringindo o domínio, podemos retirar os valores que zerariam o denominador, no caso x = 1 . Sendo assim, a forma corrigida ficaria f :   R - 1 →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1 .

E, por fim, no item f), onde temos a expressão que não está bem definida com a lei de formação f x = x , domínio R e contradomínio R .

Passo 4

A expressão não está bem definida porque existem valores reais no domínio que x não pode assumir, já que ele precisaria ser sempre positivo.

Para corrigir isso, podemos usar o método ( B ) e aumentar nosso contradomínio para o conjunto dos números complexos, que engloba raízes positivas e negativas. Dessa forma, ficaríamos com a forma corrigida: f :   R → Z dada por f x é o número cujo quadrado é x .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f : - 1 ,   1 →   R + dada por f x = 1 - x 2 .

d) f :   R - 1 →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1

f) R → Z dada por f x é o número cujo quadrado é x .

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