1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

j) g x = 1 + x e c o s c o s   x  

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?

Bora lá resolver mais uma questão!!

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado. Bom, qual foi a função que ele nos deu nessa letra j?

g x = 1 + x e c o s c o s   x  

Beleza, então precisamos calcular o domínio e a imagem desse g(x) que ele nos deu.

Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?

Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos antes definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função. Vamos pensar em uma imagem que nos ajude a entender de forma mais clara essa ideia.

Show, então vamos pensar que o conjunto B seja um bolo. O conjunto A é dado pelos ingredientes. Então, nesse caso, o que seria nossa função? Bom, a função é a receita que precisaremos seguir pra fazer o bolo, a partir dos ingredientes. Entendido, pessoal?

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função. Então, ele seria cada um dos ingredientes possíveis pra fazermos o bolo. Vamos pensar, será que pra fazer um bolo de cenoura, seria legal colocarmos mostarda? Hmmm, acho que não, né? Por isso o domínio é importante. Ele nos auxilia a entender quais valores nossa variável da função pode admitir.

Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Calma, sei que essa frase cheia de definições pode assustar. Vamos traduzir ela aqui pra nossa língua hahahaha. A imagem é dada por Ou seja, ttodos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta” e, formarão a nossa imagem. Ou seja, é cada pedacinho de ingrediente que se transforma no bolo.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida. Ou seja, se tivermos a mostarda no meio dos ingredientes, o resultado do bolo não é legal. Na nossa função, será que isso acontece? É isso que precisaremos olhar aqui. Se existe algum valor de x para o qual nossa função não seja possível de acontecer.

Vamos juntos? Bora!!!

Olhando para essa nossa função:

g x = 1 + x e c o s c o s   x  

, Hmm, aqui percebemos que é uma fração. Para que uma fração exista, quais são os principais requisitos? Bom, o numerador não apresenta nenhuma restrição. E o denominador? Temos que o denominador precisa ser diferente de 0. Isso porque não é possível dividirmos uma coisa por 0 vezes, né? e avaliamos automaticamente o seguinte:

O numerador não apresenta nenhuma restrição.

Já o denominador, partiríamos para a análise do denominador ser diferente de 0 .

No nosso denominador da função, a gente tem a seguinte expressão:

e c o s c o s   x  

Show, precisamos encontrar, então, quais são os valores de x para que essa expressão seja diferente de 0. Mas olha só, parece que temos uma expressão de exponencial, com x no expoente. Qualquer valor que colocarmos em x , dará diferente de 0 né? Isso porque, lembrem-se: expressões exponenciais nunca assumem o valor de 0 quando a variável está em seu expoente.

Porém, como temos uma de e , ela nunca assumirá o valor igual a 0 .

E agora? O que fazemos com o domínio? O que ele é?

Bom, como encontramos que não existe valor de x para que nossa função não exista, então o nosso domínio pode ser dado por qualquer valor de x . E encontramos um bolo mágico: aquele que fica bom com qualquer ingrediente que colocamos hahahaha.

Portanto, o domínio da nossa função g x = 1 + x e c o s c o s   x   pode ser escrito dessa forma aquié:

D ( g ( x ) ) g x = { x | x ∈ R }

O domínio são todos os valores de x pertencentes aos números reais.

Passo 3

Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função. Qual é nossa função mesmo? Hmm, é essa aqui:

g x = 1 + x e c o s c o s   x  

Da mesma forma que vimos no Passo 2, não há valores de y impossíveis. Ou seja, qualquer valor de domínio nos dará uma função existente. É o bolo mágico! Logo, todos os números reais fazem parte da imagem. E assim, encontramos que pra nossa função g x , a imagem pode ser dada por::

I m = { y | y ∈ R }

E é isso, galerinha!! Encontramos aqui que tanto o domínio quanto a imagem estão dentro dos valores reais. Tudo certinho?

Morri mas passo bem depois dessa questão longa!

Mas a sensação de conseguir fazer é bom demais, fala aí! Vamos pra próxima então?

Resposta

D f x = { x | x ∈ R }

I m = { y | y ∈ R }

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