Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 2 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

b )   f x , y = x 25 - x 2 - y 2

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = x 25 - x 2 - y 2

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, analisando a nossa função:

f x , y = x 25 - x 2 - y 2

Vemos que a única parte que poderia dar problema e nos traz restrição é a raiz quadrada. Pois a expressão dentre da raiz nunca pode ser negativa. Assim, temos:

25 - x 2 - y 2 ≥ 0

∴ x 2 + y 2 ≤ 25

Essa é a equação que representa a borda e a região interna de uma circunferência centrada em ( 0,0 ) e com raio valendo 25 = 5 .

Para podermos aplicar um ponto ( x , y ) em nossa função, a equação acima precisa ser obedecida.

Assim, o nosso domínio é compreendido pela seguinte região do espaço:

E, podemos escrever formalmente esse domínio como:

D f = x , y ∈ R 2       x 2 + y 2 ≤ 25 }

Excelente!

Passo 3

Pensando agora na imagem, devemos verificar os valores máximos e mínimos da nossa função f ( x , y ) pensando no domínio que determinamos no passo anterior.

Então, vimos que:

f x , y = x 25 - x 2 - y 2

Pra descobrirmos o valor mais positivo, devemos usar a desigualdade das médias. Sendo:

x = a

25 - x 2 - y 2 = b

O valor mais positivo do produto desses termos ocorrerá quando:

a = b

(Esse bizu é mto bom pessoal)

Assim, devemos ter:

x = 25 - x 2 - y 2

Aqui, como estamos procurando o valor máximo, o termo da direita precisa ser máximo. Assim, devemos ter:

y = 0

Daí:

x = 25 - x 2

∴ x 2 = 25 - x 2

Logo:

x 2 = 12,5  

∴ x = 12,5

Assim, como a = b , teremos:

x = 25 - x 2 - y 2 = 12,5

Portanto, o valor mais positivo vale:

f x , y = 12,5 ⋅ 12,5

= 12,5  

Já para o valor mais negativo, como a raiz quadrada é sempre positiva, basta tomarmos:

x = - 12,5

Assim, teremos:

f x , y =   - 12,5

Logo, a nossa imagem da função é dada por:

I m g ∈ [ - 12,5 ; 12,5 ]

Prontinho, gente!

Finalizamos mais uma questão, obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

D f = x , y ∈ R 2       x 2 + y 2 ≤ 25 }

I m g ∈ [ - 12,5 ; 12,5 ]

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1