Calcular o limite dado, usando teoremas de limites ou álgebra de limites.

c) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y , quando x e y tendem a zero.

Galera, o primeiro passo é sempre verificar se substituindo o valor do limite, a função gera alguma indeterminação, do tipo 0 0 e ∞ ∞ . Caso isso aconteça, a gente vai tentar fugir da indeterminação usando manipulação algébrica. Caso isso não aconteça, a gente simplesmente substitui e calcula o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo o valor para o qual x e y tendem na nossa função, no caso o ( 0 ,   0 ) :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y = e 0 + e 0 cos ⁡ 0 + sin ⁡ 0

A gente sabe que qualquer número elevado a zero é igual a um. Além disso, temos:

cos ⁡ ( 0 ) = 1

sin ⁡ ( 0 ) = 0

Então, nosso limite vai ficar:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y = 1 + 1 1 + 0

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y = 2 1 = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ e x + e y cos ⁡ x + sin ⁡ y = 2

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1