Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico do domínio da função:

f x , y = 1 16 - x 2 - y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis f ( x , y ) , e pediu pra gente encontrar o domínio, junto com seu gráfico, e a imagem dela. Mas como a gente pode determinar o domínio da função?

Lembra que pra determinar o domínio, nós olhamos primeiro para as restrições da função? Quer dizer, nós olhamos para os valores que a função não pode assumir. Isso porque o domínio da função, no caso da função de duas variáveis, é a região do plano onde ela está definida.

Então, a gente só tem que garantir que o denominador da fração não pode ser zero e que dentro da raiz quadrada não pode ter número negativo, na nossa função:

f x , y = 1 16 - x 2 - y 2

E a imagem vai ser o conjunto de todos os valores que a função assume para cada ponto dentro do domínio, ou seja:

I m = f x , y ; x , y ∈ D

Então, vamos lá!

Passo 2

Pra definir o domínio, como a gente falou lá em cima, a gente precisa garantir que o denominador da fração não pode ser zero e que dentro da raiz quadrada não pode ter número negativo. Matematicamente fica assim:

16 - x 2 - y 2 > 0

Logo,

16 > x 2 + y 2

Ou, se a gente ler da direita pra esquerda fica assim:

x 2 + y 2 < 16

Repara que essa é uma equação de circunferência, beleza? Essa circunferência é centrada na origem e tem raio 4 . Mas a gente tá interessado apenas na parte interna da circunferência, porque x 2 + y 2 é menor do que 4 2 . Então nosso domínio pode ser representado assim:

D f = x ,   y : x 2 + y 2 < 16

E graficamente:

Passo 3

Agora vamos avaliar a imagem da nossa função. Sabendo que a imagem é um conjunto de valores correspondente aos pontos do domínio, nós podemos dizer que z = f ( x , y ) pertence a imagem da função. Ou seja:

f x , y = z

Mas f x , y = 1 16 - x 2 - y 2 , então temos:

1 16 - x 2 - y 2 = z

Se a gente elevar os dois lados - 1 , a gente inverte as frações e ficamos com:

16 - x 2 - y 2 = 1 z

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado:

16 - x 2 - y 2 = 1 z 2

Vamos passar o 16 pro outro lado e multiplicar todo mundo por - 1 :

x 2 + y 2 = 16 - 1 z 2

Mas quem é esse z ? Bom, nós sabemos que ele vai ser um número positivo, porque ele tá elevado ao quadrado. Mas será que ele pode ser qualquer número positivo? E se ele for um número muito grande?

Pensa comigo, se o z for um número muito grande, então 1 z 2 vai ser um número bem pequeno, né? Ou seja, ele vai tender a zero, quando z tender a infinito, e aí nós iríamos ter apenas:

x 2 + y 2 = 16

E se o z for um número positivo, mas muito pequeno? Bom, aí a gente teria 16 menos um número muito grande, porque 1 z 2 vai me dar um número grande. E aí o que acontece? Aí nós teríamos um número negativo, o que não pode acontecer, porque a soma de dois quadrados ( x 2 + y 2 ) precisa ser um número positivo.

Tá, e se aquilo tudo ali do lado direito fosse zero? A gente teria isso aqui:

16 - 1 z 2 = 0

Vamos isolar o z :

16 = 1 z 2

z 2 = 1 16

z = 1 4

Então, o que a gente pode concluir? Que o nosso z pode ser um número tão grande quanto a gente queira, mas se a gente for diminuindo o valor dele, ele só pode chegar a 1 / 4 . Isso porque, se z for menor que ¼ , 16 - 1 z 2 vai dar um número negativo (e isso não pode acontecer, como a gente viu ali em cima).

Analisando tudo isso, a gente pode dizer que:

z ≥ 1 4

Então, como f x , y = z , nossa imagem vai tá definida assim:

I m f = x , y : f x , y ≥ 1 4

Fechou?!

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

D f = x ,   y : x 2 + y 2 < 16

I m f = x , y : f x , y ≥ 1 4

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