Determine o domínio e resolve a seguinte equação em Z :

x + 1 x - 1 + 4 - x x = 4

Passo 1

Aqui, procuramos soluções no conjunto Z . Se você não lembra qual é, não tem problema. Este é conjunto dos números inteiros, ou seja, os números:

… , - 3 , - 2 , - 1,0 , 1,2 , 3 …

Seguindo indefinidamente.

Poxa, mas eu só sei encontrar soluções em R ... Calma, não tem problema. Basta a gente encontrar as soluções em R normalmente e descartar aquelas que não forem inteiras.

Vamos fazer isso então, começando com o domínio. Como temos aí frações com polinômios, o domínio será todo o Z (já que estamos trabalhando com Z ) exceto os pontos onde o denominador é zero.

Temos os denominadores:

x - 1

x

Assim, não pertencem ao domínio: x - 1 = 0 ⟹ x = 1

x = 0

Logo:

D = x ∈ Z : x ≠ 0 , x ≠ 1

Passo 2

Legal, encontrado o domínio, vamos partir para a solução propriamente dita. Para isso, começamos juntando as duas frações multiplicando e dividindo cada uma pelo denominador da outra:

x + 1 x x - 1 x + 4 - x x - 1 x - 1 x = 4

Agora, com os denominadores iguais, podemos somar as duas:

x + 1 x x - 1 x + 4 - x x - 1 x - 1 x = x x + 1 + 4 - x x - 1 x x - 1

Passo 3

Então, distribuímos o numerador:

x x + 1 + 4 - x x - 1 = x 2 + x + 4 x - 4 - x 2 + x

= 6 x - 4

Ficando:

x x + 1 + 4 - x x - 1 x x - 1 = 6 x - 4 x x - 1 = 4

Passo 4

Agora, vamos jogar o denominador para o outro lado multiplicando:

6 x - 4 x x - 1 = 4 ⟹ 6 x - 4 = 4 x x - 1

6 x - 4 = 4 x 2 - 4 x

E juntamos tudo de um lado só para ficar na forma de uma equação de segundo grau tradicional:

- 4 x 2 + 10 x - 4 = 0

Multiplicamos por - 1 para ficar com o primeiro termo positivo: 4 x 2 - 10 x + 4 = 0

Passo 5

Legal, agora chegamos numa equação de segundo grau tradicional brasileira na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 4 b = - 10 c = 4

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 10 ± - 10 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ 4 2 ⋅ 4 = 10 ± 100 - 64 8 = 10 ± 6 8

Beleza, assim, para cada sinal:

x 1 = 10 + 6 8 = 16 8 = 2 x 2 = 10 - 6 8 = 1 2

Lembra que procuramos soluções inteiras? Neste caso, 2 é inteiro, mas 1 / 2 não é. Então, descartamos esse último, ficando: S = 2

Além disso, x = 2 pertence ao domínio, então tudo certo 😊

Resposta

D = x ∈ Z : x ≠ 0 , x ≠ 1

S = 2

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1