Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

a) Determine o domínio e a imagem de f .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função definida por partes, onde ela apresenta uma lei de formação diferente pra cada intervalo considerado, e nós precisamos encontrar o domínio e a imagem dessa função.

O domínio é o conjunto de todos os números que a variável independente, no caso x , pode assumir. Pra verificar o domínio de uma função por partes não tem mistério, basta verificar se há restrições dentro do intervalo de cada expressão.

A imagem são os valores que f ( x ) vai assumir, que também vai variar conforme o intervalo considerado.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos analisar o formato que a função assume em cada intervalo para determinar nosso domínio. Olhando pra quando x é menor do que - 1 , temos:

f x = - 3

E aí x pode assumir qualquer valor de - ∞ até - 1 , beleza? Ou seja:

( - ∞ ,   - 1 )

Quando x é maior ou igual a - 1 e menor do que 0 , temos a função:

f x = x 2 + 1

Que também não tem nenhuma restrição em seu domínio. Então, a gente estende esse intervalo de - ∞ até 0 .

Agora quando x tá entre 0 e 3 , a função tem a forma:

f x = ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2

Repare que para o nosso denominador não zerar, x não pode nunca ser igual a 2 . Então, temos agora uma restrição, nosso intervalo vai ser aberto em 2 e fica assim:

( - ∞ ,   2 )

Por fim, quando x é maior ou igual a 3 , f x = 4 , e x pode assumir qualquer valor também. Então, juntando tudo, o domínio da nossa função completa será:

D f = - ∞ ,   2 ∪ ( 2 ,   ∞ )

Passo 3

A imagem são os valores que f ( x ) irá assumir. Olhando pra nossa função vemos que para o intervalo ( - ∞ ,   - 1 ) , temos:

f x = - 3

No intervalo [ - 1 ,   0 ) , vemos que o menor valor que a função pode assumir no intervalo é - 1 , então f x = x 2 + 1 = - 1 2 + 1 = 2 . E o maior valor seria algo próximo de zero, supondo que seja zero, teríamos f x = 0 2 + 1 = 1 . Então, a função varia assim:

1 < f x ≤ 2

No intervalo [ 0 ,   3 ) , a gente precisa avaliar em [ 0 ,   2 ) e em ( 2 ,   3 ) , porque a função não está definida para x = 2 . Assim, teríamos para x = 0 , f 0 = ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) 0 - 2 = 1 . E f x < 3 , quando x se aproxima de 2 .

De 2 a 3 , teríamos f x > 3 e para x = 3 , teríamos f 3 = ( 3 + 1 ) ( 3 - 2 ) 3 - 2 = 4 . Então, a função varia no intervalo de [ 0 ,   3 ) assim:

[ 1 ,   3 ) ∪ ( 3 ,   4 )

Por fim, temos o intervalo [ 3 ,   ∞ ) , onde f ( x ) vai ser sempre igual a 4 .

Juntando tudo, temos a imagem da nossa função:

I m f = - 3 ∪ 1 ,   3 ∪ ( 3 ,   4 ]

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D f = - ∞ ,   2 ∪ ( 2 ,   ∞ )

I m f = - 3 ∪ 1 ,   3 ∪ ( 3 ,   4 ]

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