Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

4 - 1 - x - 2 - x > 0

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Precisamos que o que está dentro das raízes seja maior ou igual a zero, então: 1 - x ≥ 0 ⟹ x ≤ 1

2 - x ≥ 0 ⟹ x ≤ 2

Vamos para última restrição

4 - 1 - x ≥ 0

Considerando a equação correspondente e elevando ao quadrado:

4 = 1 - x

16 = 1 - x

x = - 15

Testamos então para x < - 15 e x > - 15 . Para o primeiro, x = - 24 satisfaz:

4 - 1 + 24 = 4 - 5 < 0

Logo, x < - 15 não nos interessa. Para x > - 15 , escolhemos x = 0 que satisfaz, então:

4 - 1 - 0 = 3 > 0

Então x ≥ - 15 é o intervalo que atende a última condição. Assim, teremos as restrições:

x ≤ 1

x ≤ 2

x ≥ - 15

Logo, pegando a interseção:

D = x ∈ R : - 1 5 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

4 - 1 - x - 2 - x = 0

Jogando para o outro lado para facilitar e elevando ao quadrado:

4 - 1 - x = 2 - x

4 - 1 - x = 2 - x

Isolamos o radical novamente:

1 - x = 2 + x

E elevamos ao quadrado novamente:

1 - x = 2 + x 2

1 - x = 4 + 4 x + x 2

x 2 + 5 x + 3 = 0

Que tem raízes:

x 1 = - 5 + 13 2

x 2 = - 5 - 13 2

Passo 3

Agora, retornamos a nossa inequação:

4 - 1 - x - 2 - x > 0

Que está com o zero isolado à direita.

Passo 4

E testamos para os intervalos truncados pelas raízes, ou seja:

x < - 5 - 13 2

- 5 - 13 2 < x < - 5 + 13 2

x > - 5 + 13 2

Para o primeiro intervalo, escolhemos x = - 9 que satisfaz e está dentro do domínio, assim:

4 - 1 - x - 2 - x ⟹ 4 - 10 - 2 + 9 ⟹ 4 - 10 - 11 ≈ - 2,4 < 0

Ou seja, temos:

4 - 1 - x - 2 - x < 0

Nosso interesse é:

4 - 1 - x - 2 - x > 0

Então o primeiro intervalo não satisfaz o que queremos.

Analogamente, vamos agora para o segundo intervalo. Escolhemos então x = - 5 / 2 que está dentro do domínio também:

4 - 1 - x - 2 - x ⟹ 4 - 7 / 2 - 2 + 5 / 2 ⟹ 4 - 7 2 - 9 2 ≈ - 0,66 < 0

Ou seja, temos:

4 - 1 - x - 2 - x < 0

Nosso interesse é:

4 - 1 - x - 2 - x > 0

Então o segundo intervalo não satisfaz o que queremos. Vamos para o terceiro agora. Consideramos aqui x = 1 , dentro do intervalo e no limite do nosso domínio para facilitar:

4 - 1 - 1 - 2 - 1 ⟹ 4 - 1 = 2 - 1 = 1 > 0

Assim, para este intervalo, teremos: 4 - 1 - x - 2 - x > 0

Nosso interesse é:

4 - 1 - x - 2 - x > 0

Logo,

x > - 5 + 13 2

Satisfaz nossa inequação. Assim, consideramos este intervalo para nossa solução excluindo os pontos que não pertencem ao domínio. Como temos:

D = x ∈ R : - 15 ≤ x ≤ 1

Então teremos solução no intervalo:

- 5 + 13 2 < x ≤ 1

S = x ∈ R : - 5 + 13 2 < x ≤ 1

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ - 5 + 13 2 , 1

Resposta

D = x ∈ R : - 15 ≤ x ≤ 1

S = x ∈ R :   x ∈ - 5 + 13 2 , 1

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