Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 2 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

c )   f x , y = x - y x + y

Passo 1

Ooi gente, como vocês estão?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = x - y x + y

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Analisando a nossa função:

f x , y =   x - y x + y

Como trata-se de uma fração dentro de uma raiz quadrada, temos duas restrições:

- o termo dentro da raiz n��o pode ser negativo

- o denominador da fração não pode ser nulo

Da primeira restrição, vem que:

x - y x + y ≥ 0

Daí, se x + y > 0 , então:

x - y ≥ 0

∴ x ≥ y

Já se x + y < 0 , temos:

x - y ≤ 0

∴ x ≤ y

Podemos juntar essas duas condições escrevendo que:

x ≥ | y |

Já da segunda restrição, temos que:

x + y ≠ 0

Assim:

x ≠ y

Juntando as duas condições temos:

| x | > | y |

Assim, podemos escrever o domínio como sendo:

D f = x , y ∈ R 2     x > | y | }  

Perfeito!

Passo 3

Bom, analisando a nossa função:

f x , y = x - y x + y

Como trata-se de uma raiz quadrada, ela nunca é negativa. Ou seja:

f x , y ≥ 0

Logo, o valor mínimo que ela pode assumir é 0 . Isso ocorre quando:

x = y

Pois assim o numerador se anula.

Já para o valor máximo, como temos uma fração dentro da raiz, se o denominador tender a função tende a infinito

Isso ocorre justamente x → y .

Assim, o valor máximo da função é:

lim x → y ⁡ f ( x , y ) = + ∞

Portanto, a imagem da função vale:

I m f ∈ [ 0 , + ∞ )

Prontinho!

Obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

D f = x , y ∈ R 2     x > | y | }

I m f ∈ [ 0 , + ∞ )

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