Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 2 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

e )   f x , y = x + y x y

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = x + y x y

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, vamos analisar a nossa função:

f x , y = x + y x y

Como trata-se de uma fração, a possível restrição seria o denominador ser diferente de zero.

Assim:

x y ≠ 0

⇒ x ≠ 0 y ≠ 0

Daí, podemos escrever o domínio como sendo:

D f = x , y ∈ R 2     x ≠ 0 ,   y ≠ 0 }

Ou seja, o nosso domínio é todo o plano dos reais, exceto pelos eixos x e y .

Podemos representar essa região como:

Excelente!

Passo 3

Pensando agora na imagem da função f , vamos pensar um pouco no que temos:

f x , y = x + y x y

Como temos uma fração, pensar no menor valor possível para o denominador.

Se tivermos:

x ≠ 0

E:

y → 0

O nosso numerador é diferente de zero, mas o denominador está muito próximo de zero. Assim, a nossa função vai tender pro infinito.

Assim, escolhendo bem o valor de x , temos:

- Valor máximo:

f x , y → + ∞

- Valor mínimo:

f x , y → - ∞

Assim, temos a imagem:

I m f ∈ - ∞ ,   + ∞

Valeeeu pessoal, até a próxima 😊

Resposta

D f = x , y ∈ R 2     x ≠ 0 ,   y ≠ 0 }

m f ∈ - ∞ ,   + ∞

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1