2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

b) F x = x 2 - 2 x + 1

Passo 1

Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?

Eu não quero ninguém aqui assim:

Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e construir o gráfico da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio de uma função? E como se constrói um gráfico?

Bem, para entendermos o que é um domínio, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já para a construção do gráfico, usaremos métodos específicos para cada função, levando em consideração algumas simplificações possíveis e características do grau e forma da função.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida.

Olhando para essa nossa função, percebemos que todos os valores reais servem. Em outras palavras, não há nenhum valor para x que torne a função imprópria.

Ou seja, o nosso domínio são todos os valores reais:

D F x = x x ∈ R

Passo 3

Agora, para o gráfico, vamos começar identificando qual é o tipo dessa função.

Nesse exercício, temos uma função do segundo grau. Isso fica claro quando observamos x 2 . Como é uma função do segundo grau, o formato do gráfico será uma parábola. E como o número que acompanha o termo quadrado é positivo (imagine que existe o número + 1 multiplicando x 2 ), a concavidade desse gráfico será virada para cima.

Agora precisamos encontrar alguns pontos que nos ajudem a construir esse gráfico.

Como estamos falando de uma parábola, podemos calcular seu vértice. Esse é o ponto mais abaixo da parábola, onde há a mudança de sentido do gráfico.

Para encontrarmos o x do vértice podemos utilizar:

x v = - b 2 a

Esses termos a e b são os números que acompanham os termos quadráticos e lineares da nossa função, respectivamente. Então a = 1 e b = - 2 .

x v = - - 2 2 * 1 = 1

Agora que sabemos que em x = 1 temos o vértice, vamos encontrar seu y v .

y v = 1 2 - 2 1 + 1

y v = 0

Legal! O ponto ( 1 ,     0 ) é o vértice.

Agora podemos considerar F x = 1 . Assim encontraremos dois pontos pertencentes ao gráfico.

x 2 - 2 x + 1 = 1

x 2 - 2 x = 0

x x - 2 = 0

x = 0

x - 2 = 0

x = 2

Então, os pontos ( 0 ,   1 ) e ( 2 ,   1 ) pertencem ao gráfico.

Só para referenciar melhor nosso gráfico, podemos considerar F x = 4 e assim encontraremos outros dois pontos pertencentes ao gráfico:

x 2 - 2 x + 1 = 4

Reescrevendo:

x 2 - 2 x - 3 = 0

Resolvendo por soma e produto:

x = - 1

x = 3

Portanto os pontos ( - 1 ,     4 ) e ( 3 ,   4 ) fazem parte do gráfico. Agora ficou fácil criar o gráfico:

Ihaaaaá! Estamos voando pessoal!

Bora aproveitar esse embalo e resolver mais uma questãozinha?

Resposta

D F x = x x ∈ R

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1