Normalmente, o caminho para se definir uma função é escolher o domínio, o contradomínio e, por fim, a regra de formação. Porém, em certas situações, a regra de formação é escolhida inicialmente. Nesse caso, fica a pergunta de que escolhas podemos fazer para o domínio e o contradomínio de forma que se obtenha uma função bem definida. Por exemplo, para a regra de formação f x = x podemos escolher R + como domínio e R como contradomínio. Obviamente, há infinitas escolhas que funcionam nesse caso. Convencionou-se, nos cursos de Cálculo que, quando uma regra de formação é fornecida (sem domínio e contradomínio), o domínio é o maior subconjunto de R de forma que a regra de formação possa ser calculada dentro do conjunto dos números reais e que o resultado também seja um número real. Por exemplo, o maior subconjunto de R para o qual a expressão f x = x pode ser calculada usando número reais é R + . Com isso, dizemos que o domínio da função f x = x é R + . Em cada um dos itens abaixo, encontre o domínio das funções, conforme exemplos nos itens (a) e (b).

Observação. Não há uma convenção absoluta para o contradomínio quando este não é especificado. As duas convenções mais usadas são usar R ou usar o conjunto imagem como contradomínio.

(a) f x = x - 1 x 2 - 9 - 4 - 2 x + 3

(b) f x = x x

(c) f x = 3 x + 2

(d) f x = 1 x + 2

(e) f x = x - 1 x 2 - 4

(f) f x = x - 1

(g) f x = x - 1 + x - 1

(h) f x = 1 x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas funções e pediu pra gente encontrar o domínio delas.

Como o domínio é o conjunto de todos os valores que x pode assumir, vamos determiná-lo excluindo todos os valores que a função não pode assumir para estar definida em R , ou seja, vamos procurar as restrições, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Na letra a), temos:

f x = x - 1 x 2 - 9 - 4 - 2 x + 3

Repara que essa expressão só vai poder ser calculada nos números reais se o denominador x 2 - 9 for diferente de 0 e se o número ( 4 - 2 x ) que está dentro da raiz for maior ou igual a zero. Assim, o domínio é o conjunto solução do sistema:

x 2 - 9 ≠ 0 4 - 2 x ≥ 0

Da primeira equação, temos x ≠ ± 3 , e da segunda equação, temos x ≤ 2 . Então, o sistema é equivalente a:

x ∈ R - { - 3,3 } x ≤ 2

Então nosso domínio é o conjunto:

D ( f ) = - ∞ ,   - 3 ∪ ( - 3 ,   2 ]

Passo 3

No item b), temos:

f x = x x

Uma abordagem errada nesse caso seria, antes de encontrar o domínio, simplificar a fração e dizer que a expressão é igual a f ( x )   =   1 , fazendo com que o domínio seja R .

Mas nós devemos analisar a expressão original sem qualquer simplificação. Neste caso, o denominador deve ser diferente de 0 e o que está dentro de cada raiz deve ser maior ou igual a 0 , ou seja:

x ≠ 0 x ≥ 0

Dessa forma, x só pode ser maior do que zero. Assim, temos o domínio:

D f = ( 0 ,   ∞ )

Passo 4

Na letra c), temos

f x = 3 x + 2

Repare que x pode assumir qualquer valor real na função, porque não existe nenhuma restrição. Geralmente, isso ocorre em funções polinomiais como essa, onde nós temos somas de potências naturais de x com coeficientes constantes.

Sendo assim, nosso domínio tá definido para todo conjunto dos números reais:

D = { R }

Passo 5

Na letra d), temos:

f x = 1 x + 2

Nossa única restrição é que o denominador seja diferente de zero:

x + 2 ≠ 0

Isolando x , nós encontramos:

x ≠ - 2

Portanto, nosso domínio é:

D f = R - { 2 }

Passo 6

Na letra e), temos:

f x = x - 1 x 2 - 4

Novamente, nosso denominador precisa ser diferente de zero. Logo,

x 2 - 4 ≠ 0 → x 2 ≠ 4

Tirando a raiz dos dois lados, temos:

x ≠ ± 2

Portanto, nosso domínio será:

D f = R - { - 2 , 2 }

Passo 7

Na letra f), temos:

f x = x - 1

Como temos uma raiz quadrada, nosso radicando precisa ser positivo para estar definido em R . Logo,

x - 1 ≥ 0

Isolando x , temos:

x ≥ 1

Dessa forma, x precisa ser maior ou igual a 1 , e nosso domínio será:

D f = [ 1 ,   + ∞ )

Passo 8

Na letra g), temos:

f x = x - 1 + x - 1

Nosso radicando precisa ser positivo nas duas raízes, que são iguais, logo:

x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1

E nosso domínio será:

D f = [ 1 ,   + ∞ )

Passo 9

Na letra h), temos:

f x = 1 x + 2

Nosso denominador precisa ser diferente de zero e nosso radicando precisa ser maior ou igual a zero, então temos as condições:

x + 2 ≠ 0 x + 2 ≥ 0

Da primeira equação, temos x ≠ - 2 . E da segunda equação, temos x ≥ - 2 . Então, nossa função precisa ser maior do que - 2 , e nosso domínio será:

D f = ( - 2 ,   ∞ )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) D ( f ) = - ∞ ,   - 3 ∪ ( - 3 ,   2 ]

b) D f = ( 0 ,   ∞ )

c) D = { R }

d) D f = R - { 2 }

e) D f = R - { - 2,2 }

f) D f = [ 1 ,   + ∞ )

g) D f = [ 1 ,   + ∞ )

h) D f = ( - 2 ,   ∞ )

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