2) Determine o domínio e números críticos da função

f x = x arcsin ⁡ x 3 + 9 - x 2

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

A primeira coisa que o exercício nos pede é definir o domínio dessa função. E o que é mesmo o domínio da função?

Imagine que a sua função f ( x ) é uma máquina. Bizarro, né? Mas é só para o nosso exemplo. Essa máquina precisa de Matérias Primas que, quando colocamos na nossa máquina, nos fornece produtos. Esses produtos são a imagem da função e essas Matérias Primas são os números do conjunto domínio. Justamente o que queremos achar! Mas cuidado... Tenha em mente que nem todos os números contidos em R são bons para a nossa máquina. Então vamos procurar se há algum número que não serve em nossa função.

Passo 2

A partir desse passo, vamos olhar para a nossa função e checarmos os casos críticos. Por exemplo:

9 - x 2 precisa ser maior ou igual a zero. Isso por se tratar de uma raiz quadrada. Então:

9 - x 2 ≥ 0

Desenvolvendo:

9 - x 2 ≥ 0

9 ≥ x 2

x ≤ 3 ou x ≥ - 3

Também podemos dizer que:

- 3 ≤ x ≤ 3

Esse já é um primeiro indício de que o domínio dessa função não é o conjunto R completo.

Passo 3

Agora, precisamos analisar arcsin ⁡ x 3 . Essa fração precisa ser menor ou igual a 1 para que haja a r c s i n . Portanto:

x 3 ≤ 1

Desenvolvendo:

x ≤ 3

Essa fração também precisa ser maior ou igual a - 1 para que haja a r c s i n . Portanto:

x 3 ≥ - 1

Desenvolvendo:

x ≥ - 3

Então, também percebemos nessa análise que - 3 ≤ x ≤ 3 .

Portanto, já podemos dizer que o domínio é o intervalo:

[ - 3 ,   3 ]

Passo 4

Agora, o que falta é encontrarmos o ponto crítico da função f ( x ) . Mas o que é o ponto crítico mesmo?

O ponto crítico de uma função derivável f é um ponto onde f ' é igual a zero. Ou seja, precisamos derivar a função e igualar a zero para encontrarmos qual a coordenada de x do ponto crítico. Após, é só colocarmos esse x encontrado em f ( x ) e teremos a coordenada y . Então vamos nessa!

Começaremos derivando x arcsin ⁡ x 3 . Como há a multiplicação entre x e arcsin ⁡ x 3 usaremos a regra do produto, que nos diz:

f * g ' = f ' g + g ' f

Nesse nosso caso, f = x e g = arcsin ⁡ x 3 , então:

f ' = 1

Já em g ' teremos a regra da cadeia, já que há uma função composta. Então consideraremos u = x 3 e arcsin ⁡ u .

Aplicando a regra da cadeia:

1 1 - x 3 2 * 1 3

Simplificando:

1 3 1 - x 3 2

Retornando para a regra do produto:

1 * arcsin ⁡ x 3 + x * 1 3 1 - x 3 2

Simplificando:

arcsin ⁡ x 3 + x 3 1 - x 3 2

Passo 5

Agora faremos a derivada de 9 - x 2 . Esse também é caso de regra da cadeia, já que 9 - x 2 1 2 é uma função composta.

1 2 9 - x 2 - 1 2 * - 2 x

Simplificando:

- x 9 - x 2

Juntando as derivadas que calculamos:

f ' x = arcsin ⁡ x 3 + x 3 1 - x 3 2 - x 9 - x 2

f ' x = arcsin ⁡ x 3 + x 3 1 - x 2 9 - x 9 - x 2

Repara que se vc colocar o 3 pra dentro da raíz, ele deverá entrar como 3 2 = 9 e multiplicar distributivamente os termos, portanto:

f ' x = arcsin ⁡ x 3 + x 9 - 9 x 2 9 - x 9 - x 2

f ' x = arcsin ⁡ x 3 + x 9 - x 2 - x 9 - x 2

Perceba que podemos cancelar as frações, então f ' ( x ) é:

arcsin ⁡ x 3

Como precisamos de f ' = 0 :

arcsin ⁡ x 3 = 0

Aplicando sin ⁡ x nos dois lados:

x 3 = sin ⁡ 0

x 3 = 0

x = 0

Legal, vamos aplicar x = 0 em f ( x ) para encontrarmos o y :

y = 0 * arcsin ⁡ 0 3 + 9 - 0 2

y = 9

y = 3

Então o ponto crítico é ( 0 ,   3 ) .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Respostas no desenvolvimento acima.

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