Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

x 2 - 2 x - 8 > x - 2

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, então: x 2 - 2 x - 8 ≥ 0

Para determinar os pontos, achamos as raízes. A equação correspondente será: x 2 - 2 x - 8 = 0 Que tem raízes:

x 1 = 4

x 2 = - 2

Com as raízes, testamos o sinal nos intervalores truncados por elas:

x < - 2

- 2 < x < 4

x > 4

Para x < - 2 , escolhemos x = - 3 :

x 2 - 2 x - 8 ⟹ 9 + 6 - 8 > 0

Para - 2 < x < 4 , escolhemos x = 0 :

x 2 - 2 x - 8 ⟹ - 8 < 0

Para x > 4 , escolhemos x = 5 :

x 2 - 2 x - 8 ⟹ 25 - 10 - 8 > 0

Assim, temos que:

x 2 - 2 x - 8 ≥ 0

Para:

x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 4 , + ∞

E esse vai ser justamente nosso domínio:

D = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 4 , + ∞

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

x 2 - 2 x - 8 = x - 2

Elevando ao quadrado:

x 2 - 2 x - 8 = x - 2 2

x 2 - 2 x - 8 = x 2 - 4 x + 4

2 x - 12 = 0

x = 6

Passo 3

Agora, retornamos a nossa inequação:

x 2 - 2 x - 8 > x - 2

E deslocamos para ficar com o zero à direita:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 > 0

Passo 4

Agora analisamos os intervalos truncados pela raiz:

x < 6

x > 6

Assim, para x < 6 , usamos x = 4 que está no domínio:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 ⟹ 0 - 4 + 2 < 0

Ou seja, temos:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 < 0

Para x < 6 . Nosso interesse é:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 > 0

Então x < 6 não satisfaz nossa inequação.

Analogamente, vamos agora para x > 6 . Escolhemos então x = 7 que está dentro do domínio também:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 ⟹ 49 - 14 - 8 - 7 + 2 = 27 - 5

Como:

27 > 25 = 5

Então:

27 - 5 > 0

Ou seja, temos:

x 2 - 2 x - 8 - x + 2 > 0

Que é justamente nossa inequação. Então o intervalo x > 6 faz parte da solução.

Passo 5

Antes de escrever a solução, devemos num atentar a um detalhe aqui, temos que para:

x ∈ - ∞ , - 2

x 2 - 2 x - 8 ≥ 0

Ao mesmo tempo que: x - 2 ≤ - 4 < 0

Então, vamos ter que:

x 2 - 2 x - 8 > x - 2

Neste intervalo! Dessa maneira, ele também deve fazer parte da nossa solução

Passo 6

Agora ajustamos excluindo os pontos que não pertencem ao domínio. Como temos:

D = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 4 , + ∞

Então teremos solução no intervalo:

x ≤ - 2

x > 6

Ficando:

S = x ∈ R :   0 ≤ x ≤ - 2   e   x > 6

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 6 , + ∞

Resposta

D = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 4 , + ∞

S = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 6 , + ∞

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