Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

x = - 2 x

Passo 1

Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, como temos x , precisamos que:

x ≥ 0

Ou seja, x deverá ser maior ou igual a zero. Show. Essa é a única restrição, então teremos: D = x ∈ R : x ≥ 0

Passo 2

Agora que encontramos o domínio, precisamos isolar o radical. Já está isolado neste caso, então segue o jogo.

Passo 3

Com o radical isolado, elevamos os dois lados ao quadrado para eliminá-lo:

x = - 2 x

x 2 = - 2 x 2

x = 4 x 2

Repare aqui que quando elevamos ao quadrado, “perdemos” a informação do sinal negativo ali. Já voltamos para isso.

Passo 4

Show, agora ficamos com uma equação de segundo grau. Não precisamos usar Bhaskara, só colocar tudo do mesmo lado: x - 4 x 2 = 0

E colocar o x em evidência: x 1 - 4 x = 0

Um produto dá zero se e somente se pelo menos um dos termos for zero, então:

x = 0

1 - 4 x = 0

Do segundo: 4 x = 1 ⟹ x = 1 4

Tanto x = 0 , quanto x = 1 / 4 são maiores ou iguais a zero, então estão dentro do domínio.

Passo 5

Até aí tudo bem, mas lembra que perdemos aquela informação sobre o sinal negativo quando elevamos ao quadrado? Então isso significa que esses valores aí são apenas candidatos à solução. Para ter certeza, vamos ter que verificar.

Para x = 0 , temos: x = - 2 x

0 = - 2 ⋅ 0

0 = 0

Equação satisfeita, então é de fato solução.

Para x = 1 / 4 temos:

x = - 2 x

1 / 4 = - 2 ⋅ 1 / 4

1 2 ≠ - 1 2

Opa! Deu problema aí, então x = 1 / 4 não vai ser solução neste caso, ficando apenas: S = 0

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ 0

S = 0

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