5. Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.

c) Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12   c m por 20   c m . Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão queremos desenvolver uma função que descreva o volume de uma caixa sem tampa que é construída a partir de um papelão 12   c m por 20   c m em função da sua altura x

Tem alguma ideia do que fazer? 😉

Primeiro vamos obter uma função f x que será a função volume da caixa sendo x sua altura.

Depois disso, vamos obter o domínio dessa função, ou seja, os possíveis valores que x pode assumir em f x .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A fórmula que descreve o volume de uma caixa, é dada por

V = A b · h

Onde A b é a área da base e h é a altura.

A área da base é dada pelo produto entre os lados da base, ou seja

A b = a · b

Pela figura, vemos que o lado a é dado por a = 12 - 2 x e o lado b é dado por b = 20 - 2 x .

Portanto a área da base A b é dada por

A b = a · b = 12 - 2 x · 20 - 2 x

Legal, né? 😁

Passo 3

Substituindo no volume da caixa, temos

V = 12 - 2 x · 20 - 2 x · h

Como h = x e passando V para f x ...

f x = 12 - 2 x · 20 - 2 x · x

f x = 240 - 24 x - 40 x + 4 x 2 · x

f x = 240 - 64 x + 4 x 2 · x

f x = 4 x 3 - 64 x 2 + 240 x

E finalmente, obtendo o domínio dessa função, temos que analisar se existe alguma restrição para valores de x .

Como f x é um polinômio, não temos restrição para x , então x pode assumir qualquer valor positivo.

D o m f x = x ∈ R x ≥ 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f x = 4 x 3 - 64 x 2 + 240 x

D o m f x = x ∈ R x ≥ 0

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1