Ao criar uma função (ou definir uma função, usando o linguajar matemático), devemos especificar o domínio, o contradomínio e a regra de formação (ou regra de associação) da função. Por exemplo, f : R + → R dada por f x = x + 1 tem domínio R + , contradomínio R e regra de formação f x = x + 1 . Porém, nem sempre essas três informações fornecem uma função. Por exemplo f : R → R dada por g x = 1 x não é uma função, pois a regra não pode ser aplicada a todos os elementos do domínio. Neste

caso, dizemos que g não está bem definida (caso fosse uma função, diríamos que g está bem definida).

Em cada um dos itens abaixo, diga quais estão ou não bem definidos.

a) f :   R →   R + dada por f x = 1 - x 2

b) f :   R →   R dada por f x = 1 - x 2

c) f : - 1 ,   1 →   R + dada por f x = 1 - x 2

d) f :   R →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1

e) f :   R - 1 →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1  

f) f :   R →   R dada por f x é o número cujo quadrado é x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu as informações de domínio, contradomínio e regra de formação de algumas possíveis funções e a gente precisa verificar se eles são de fato funções e, portanto, estão bem definidas.

Para isso, vamos analisar o domínio e o contradomínio, verificando se eles satisfazem os requisitos da lei de formação.

Vamos lá!

Passo 2

No item a), temos:

f :   R →   R + dada por f x = 1 - x 2

Nosso domínio é definido pelos números reais e nosso contradomínio é constituído pelos números reais não negativos (isto é, números positivos). Mas repare que se a gente fizer x = 2 , por exemplo, nossa lei de formação vai nos fornecer:

f 2 = 1 - 2 2 = 1 - 2 = - 1

Que é um número negativo, que estaria no contradomínio. Como isso não pode acontecer, dizemos que f não está bem definida.

Para o item b), temos:

f :   R →   R dada por f x = 1 - x 2

É a mesma lei de formação e o mesmo domínio, mas o contradomínio agora está no conjunto dos números reais (que engloba também os números negativos). Portanto, agora podemos dizer que nossa função está bem definida.

Na letra c), temos:

f : - 1 ,   1 →   R + dada por f x = 1 - x 2

Isso significa que agora nosso domínio é apenas o intervalo [ - 1 ,   1 ] e nosso contradomínio são os números reais não negativos. Aqui a nossa função também está bem definida, porque para x variando de - 1 até 1 , o nosso f ( x ) vai ser sempre positivo e vai está contido no contradomínio definido.

Passo 3

Na letra d), temos:

f :   R →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1

Nosso domínio é definido pelos números reais e nosso contradomínio também. Mas existem valores reais que x não pode assumir, porque zerariam o denominador. Por exemplo, x = 1 , nos daria f x = 2 ( 0 ) 0 , o que não existe, é chamada indeterminação. Portanto, f não está bem definida.

Em e), temos:

f :   R - 1 →   R dada por f x = 2 ( x - 1 ) x - 1

Agora nosso domínio são os números reais menos o número 1 , e o nosso contradomínio são os números reais. Dessa forma, a gente tira a indeterminação, porque x pode assumir qualquer valor desde que não seja 1 . Assim, nossa função está bem definida.

Passo 4

Por fim, temos:

f :   R →   R dada por f x é o número cujo quadrado é x

Nosso domínio e nosso contradomínio estão no conjunto dos números reais, e temos uma lei de formação onde f ( x ) é o número cujo quadrado é x , ou seja:

f ( x ) 2 = x

Ou

f x = x

Para que essa raiz quadrada esteja definida dentro dos números reais, x precisa ser positivo. Então, existem valores reais no domínio que ele não pode assumir. Dessa forma, dizemos que a nossa função não está bem definida.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) não está bem definida

b) está bem definida

c) está bem definida

d) não está bem definida

e) está bem definida

f) não está bem definida

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