1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

g) f x = sin ⁡ ( 9 - x 2 )

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?

Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida.

Com certeza você percebeu que temos uma raiz quadrada dentro da função seno. Essa raiz quadrada deve ser analisada, já que se o valor dentro da raiz for menor que zero, não há uma definição da função no campo dos números reais.

Portanto:

9 - x 2 ≥ 0

Resolvendo essa inequação:

x 2 ≤ 9

x ≥ - 3

x ≤ 3

Então, nosso domínio é definido pelos valores maiores ou igual a - 3 e menores ou igual a 3 :

- 3 ≤ x ≤ 3

Passo 3

Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.

Pensando nos resultados possíveis da nossa raiz quadrada, podemos encontrar dois extremos:

No primeiro caso, quando a raiz quadrada é igual a 0 :

f x = sin ⁡ 0 = sin ⁡ 0 = 0

Esse é o nosso menor valor possível de imagem.

No segundo caso, quando a raiz quadrada é igual a 3 :

f x = sin ⁡ 3 = 1

Esse é o nosso maior valor possível de imagem.

Portanto a nossa imagem é:

I m = [ 0 ,   1 ]

Conseguimos mais uma, pessoal!! Arrasamos!

Aproveita essa sensação top de dever cumprido que eu sei que você está sentindo e bora lá fazer mais umaaa!

Resposta

D f x :   - 3 ≤ x ≤ 3

I m = [ 0 ,   1 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1