1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

c) f x = x + 4 x 2 - 9

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!

Nesse exerc��cio precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?

Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida.

No caso de x + 4 x 2 - 9 , temos uma condição específica. Aqui, o denominador nunca poderá ser igual a 0 , já que isso tornaria a função uma divisão por zero.

Vamos encontrar os valores que precisamos excluir do domínio por esse motivo:

x 2 - 9 ≠ 0

x 2 ≠ 9

x ≠ ± 3

Ou seja, x = 3 e x = - 3 não estão no domínio dessa função.

D f x = { x | x ≠ 3 , - 3 }

O domínio de x é qualquer x diferente de 3 e - 3 .

Passo 3

Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.

Como estamos falando de uma função com exceções no domínio, faremos o cálculo do discriminante da nossa função para definirmos os intervalos de imagem.

Manipulando a nossa função, temos que:

x + 4 = y ( x 2 - 9 )

x + 4 = x 2 y - 9 y

x 2 y - x - 9 y - 4 = 0

Veja que ficamos com uma função do segundo grau em relação a x , sendo seus termos:

a = y

b = - 1

c = - 9 y - 4

E para uma equação quadrática da forma a x 2 + b x + c = 0 , o discriminante é b 2 - 4 a c :

- 1 2 - 4 y - 9 y - 4

1 + 36 y 2 + 16 y

Agora que sabemos o discriminante, vamos encontrar os valores de y que tornam maior ou igual a zero:

1 + 36 y 2 + 16 y ≥ 0

Completando o quadrado:

36 y + 2 9 2 ≥ 7 9

Simplificando:

y + 2 9 2 ≥ 7 324

Como temos uma potência:

y + 2 9 ≥ 7 324 ou y + 2 9 ≤ - 7 324

Ou seja:

y ≥ 7 18 - 2 9 ou y ≤ - 7 18 - 2 9

Esses valores são os limites da nossa imagem. E ela será dada por:

I m = - ∞ ,   - 7 18 - 2 9 ∪ 7 18 - 2 9 ,   ∞

Conseguimos mais uma, pessoal!! Arrasamos!

Aproveita essa sensação top de dever cumprido que eu sei que você está sentindo e bora lá fazer mais umaaa!

Resposta

D f x = { x | x ≠ 3 , - 3 }

I m = - ∞ ,   - 7 18 - 2 9 ∪ 7 18 - 2 9 ,   ∞

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