Determine o domínio e resolve a seguinte equação em Z :

2 x x - 2 = 1 + x - 1 x - 2

Passo 1

Aqui, procuramos soluções no conjunto Z . Se você não lembra qual é, não tem problema. Este é conjunto dos números inteiros, ou seja, os números:

… , - 3 , - 2 , - 1,0 , 1,2 , 3 …

Seguindo indefinidamente.

Poxa, mas eu só sei encontrar soluções em R ... Calma, não tem problema. Basta a gente encontrar as soluções em R normalmente e descartar aquelas que não forem inteiras.

Vamos fazer isso então, começando com o domínio. Como temos aí frações com polinômios, o domínio será todo o Z (já que estamos trabalhando com Z ) exceto os pontos onde o denominador é zero.

Temos os denominadores:

x x - 2

x - 2

Logo:

x = 0

x = 2

São os pontos que não pertencem ao domínio.

D = x ∈ Z : x ≠ 0 , x ≠ 2

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução. Podemos já jogar o denominador multiplicando do outro lado:

2 x x - 2 = 1 + x - 1 x - 2

2 = 1 + x - 1 x - 2 x x - 2

Distribuindo:

2 = x x - 2 + x - 1 x - 2 ⋅ x x - 2

2 = x 2 - 2 x + x - 1 x

2 = x 2 - 2 x + x 2 - x

Passo 3

Agora, colocamos tudo do mesmo lado para ficar na forma da equação de segundo grau:

- 2 x 2 + 3 x + 2 = 0

2 x 2 - 3 x - 2 = 0

E então temos uma equação de segundo grau na forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 2 b = - 3 c = - 2

E, por Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 3 ± - 3 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 2 2 ⋅ 2 = 3 ± 9 + 16 4 = 3 ± 5 4

Assim, para cada sinal:

x 1 = 3 + 5 4 = 2 x 2 = 3 - 5 4 = - 1 2

Como buscamos soluções inteiras e - 1 / 2 não é inteiro, então descartamos. O outro candidato é justamente x = 2 que é inteiro, mas não faz parte do domínio. Se não faz parte do domínio, também não é solução válida, logo não teremos solução.

S = ∅

Que indica que o conjunto solução é vazio.

Resposta

D = x ∈ Z : x ≠ 0 , x ≠ 2

S = ∅

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1