Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

2 x 2 - 1 - x x - 1 = 1

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Para situações em que temos funções racionais (frações com polinômios), o domínio será todo o R menos os pontos em que o denominador se anula, pois nesse caso estaríamos dividindo por zero, que não pode rolar.

Então vamos ver esses pontos. Para o primeiro denominador:

x 2 - 1 = 0

Então:

x = ± 1

Para o segundo, temos:

x - 1 = 0

x = 1

Logo, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≠ 1 , x ≠ - 1

Sem repetir nada.

Passo 2

Legal, agora vamos resolver de fato a equação. Para isso, começamos escrevendo o denominador da primeira equação como:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Aí teremos um termo em comum entre as duas frações e para juntá-las basta multiplicar a segunda pelo termo que falta. No caso, x + 1 :

2 x 2 - 1 - x x - 1 = 2 x - 1 x + 1 - x x - 1

2 x - 1 x + 1 - x x + 1 x - 1 x + 1 = 2 - x x + 1 x - 1 x + 1

Aí, distribuímos o que está no numerador e teremos:

2 - x 2 - x x - 1 x + 1 = 1

Passo 3

Agora, como o denominador está dividindo, jogamos para o outro lado multiplicando:

2 - x 2 - x = 1 x - 1 x + 1

Distribuindo:

- x 2 - x + 2 = x 2 - 1

Passo 4

Agora, colocamos tudo de um lado só para aparecer uma equação de segundo grau bem bonita:

- 2 x 2 - x + 3 = 0

E multiplicamos por ( - 1 ) para o primeiro termo ficar positivo: 2 x 2 + x - 3 = 0

Passo 5

Para resolver então, basta recorrer ao Bhaskara. Temos uma equação na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 2 b = 1 c = - 3

E teremos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Assim, substituindo:

x = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 3 2 ⋅ 2 = - 1 ± 25 4 = - 1 ± 5 4

Assim, para cada sinal:

x 1 = - 1 + 5 4 = 1 x 2 = - 1 - 5 4 = - 3 2

Ou seja, nosso conjunto solução será:

S = 1 ,   - 3 2

Certo??!!

PARA, PARA, PARA!!!! NÃO!!

Lembra do nosso domínio?

D = x ∈ R : x ≠ 1 , x ≠ - 1

x = 1 não faz parte do domínio. Se um número não faz parte do domínio, não pode fazer parte da solução! Isso acontece pois, se substituirmos x = 1 :

2 x 2 - 1 - x x - 1 ⟹ 2 1 - 1 - 1 1 - 1 = 2 0 - 1 0

Teremos uma divisão por zero. Logo, todas as hipóteses de multiplicação e divisão que usamos para chegar na solução da equação de segundo grau não são válidas. Então muito cuidado aqui!

Assim, nossa solução será apenas:

S = - 3 2

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 1 , x ≠ - 1

S =   - 3 2

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