1. Seja a função f x = - x 3 + x 2 , determine:
  1. O domínio da função e suas raízes:

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão dá pra gente a função

f x = - x 3 + x 2

e pede para gente dizer qual o domínio dela e quais são suas raízes. Então nós vamos dividir essa resolução em duas parte. Na primeira parte nós iremos encontra o domínio, que são os valores onde a função está definida, e na segunda parte nós iremos encontrar as raízes, que são os pontos onde a função corta o eixo x .

Vem comigo que vamos fazer isso juntos.

Passo 2

Para descobrir o domínio da nossa função precisamos pensar se existe algum valor que o x não pode assumir. Isso porque o domínio da função é exatamente o conjunto de valores que podemos colocar no lugar de x .

Temos vários casos de funções que ficam indeterminadas em valores específicos de x , mas esse não é o caso da função do nosso problema. Observe-a:

f x = - x 3 + x 2

Como ela é uma função polinomial, podemos colocar o x valendo qualquer coisa que conseguimos calcular sem grandes esforços o valor da função. Isso significa que nossa função está definida em todos os valores reais de x . E escrevemos seu domínio deste modo:

D o m = R

Show. Essa parte foi de boas. Agora vamos encontrar as raízes da função.

Passo 3

Chamamos de raízes da função os valores de x que fazem com que a função seja igual a zero. Isso quer dizer que para encontrar as raízes de qualquer função, basta igualar ela a zero e resolver a equação que iremos obter.

f x = 0

- x 3 + x 2 = 0

Um modo bem rápido de resolver essa equação é colocando o x 2 em evidência:

x 2 ⋅ - x + 1 = 0

Isso porque fomos capazes de escrevê-la como um produto entre x 2 e o ( - x + 1 ) . E um produto só poderá ser igual a zero, se algum de seus fatores for igual a zero. Assim temos duas possibilidades.

Podemos ter:

x 2 = 0

O que nos dá duas raízes iguais a zero

x 1 = 0 e x 2 = 0

Ou podemos ter:

- x + 1 = 0

Nos dando a terceira raiz

x 3 = 1

Obs: Nós encontramos três raízes porque a nossa função é uma função de terceiro grau, beleza?

E esses são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo x . Também podemos vê-lo através do gráfico da função. Veja só:

E prontinho. Problema resolvido. 😊

Partiu próxima?!

Resposta

D o m = R

Raízes x 1 = x 2 = 0 e x 3 = 1

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1