1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

h) f t = tan ⁡ ( e t )

Passo 1

Alooo, �� aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Nesse exercício precisamos encontrar o domínio e a imagem da função dada pelo enunciado.

Legal, mas o que é domínio e imagem? Como encontramos esses valores?

Bem, para entendermos o que é um domínio e imagem, precisamos definir o que é função. Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. A “ferramenta” que transforma os elementos do conjunto A em um elemento do conjunto B é o que chamamos de função.

Assim já definimos quem é o domínio. O domínio é o conjunto numérico formado pelos valores que x pode assumir na nossa função.

Já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos que correspondem a algum elemento do domínio. Ou seja, todos os valores possíveis que sairão da nossa “ferramenta”, formarão a nossa imagem.

Muito legal, não é? Então bora calcular!

Passo 2

Como vimos no Passo 1, o domínio é formado pelos possíveis valores de x . Aqui procuramos se há algum valor de x que torna a função impossível de ser resolvida.

Como estamos falando de uma função exponencial com base e dentro da função tangente, de cara teremos uma exceção. A função tangente tem uma assíntota vertical cíclica, ou seja, um ponto onde o gráfico tem um limite, se repetindo com o produto de um número inteiro. Ficou bem confuso, né?

Calma, é mais simples do que parece. A função tangente possui assíntota toda vez que:

x = π 2 + π * n

Obs.: nesse argumento n pode ser qualquer número inteiro e é ele que gera a repetição “cíclica” da função.

Uma forma visual de demonstrar esse argumento é com o gráfico de t a n ⁡ ( t ) :

Agora que sabemos um ponto que a função tangente não é definida, podemos avaliar o seguinte:

e t = π 2 + π * n

Aqui encontraremos valores de t que serão indefinidas na nossa função. Resolvendo:

ln ⁡ ( e t ) = ln ⁡ π 2 + π n  

t = ln ⁡ π 2 + π n  

Como encontramos a exceção, definimos o nosso domínio:

D f x = x x ≠ ln ⁡ π 2 + π n }

O domínio de f ( x ) é qualquer x diferente de ln ⁡ π 2 + π n , para todo n ∈ Z .

Passo 3

Agora para a imagem, vamos observar os possíveis resultados da nossa função.

Pensando nos resultados possíveis de uma função tangente normal, todos os valores de R são possíveis como imagem.

E como e t também não possui exceções de imagem, podemos dizer que:

I m = y y ∈ R

A imagem é y para qualquer y pertencente aos números reais.

Pra essa questão é isso, pessoal! Mais fácil do que você imaginou, fala aí!

Vamos juntos resolver mais uma?

Resposta

D f x = x x ≠ ln ⁡ π 2 + π n }

I m = y y ∈ R

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