(Capítulo 13.1 – Exercício 14) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

r t = cos ⁡ t . i - cos ⁡ t . j + s e n t . k

Passo 1

E aíí pessoal, belezinha?

Vamos lá, nessa questão estamos falando sobre esboço de gráfico pra funções vetoriais

Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t = cos ⁡ t . i - cos ⁡ t . j + s e n t . k

Vamos lá?

Passo 2

As coordenadas x , y e z da equação paramétrica são, respectivamente:

x = cos ⁡ t ,     ( 1 ) y = - cos ⁡ t ,     ( 2 ) z = s e n t ,     ( 3 )

Como ( 1 ) e ( 2 ) são iguais, porém com sinais opostos, podemos escrever

x = - y

Além disso, como x = c o s ⁡ ( t ) e z = s e n ( t ) , podemos escrever, pela relação fundamental trigonométrica:

s e n 2 t + c o s 2 t = 1

x 2 + z 2 = 1

Assim, temos um círculo no eixo x z cuja coordenada y vai aumentando conforme o valor de – x .

Passo 3

Para verificarmos de que forma o parâmetro t cresce, vamos observar alguns valores de t :

t = 0

x = cos ⁡ t = 1 ,     y = - cos ⁡ t = - 1 ,     z = s e n t = 0

t = π 2

x = cos ⁡ π 2 = 0 ,     y = - cos ⁡ π 2 = 0 ,     z = s e n π 2 = 1

Assim o parâmetro cresce seguindo o caminho:

1 , - 1,0 → ( 0,0 , 1 )

O gráfico da equação é:

Resposta

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1