Seja a função, g : R 3 → R e o conjunto

P , W ∈ R 3 × R : W = 4 - x 2 - y 2 - z 2 .

Resolva as questões,

d )   D g

a seguir trace um esboço mostrando como um sólido sombreado em R 3 , o conjunto de pontos do domínio de g .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma função g , que foi dada de uma forma meio diferente no enunciado. Então, vamos começar tentando entender melhor quem é essa função.

Foi dito que:

g : R 3 → R

Isso significa que o domínio de g é um ponto do R 3 , por exemplo ( 1,1 , 1 ) e que o contradomínio de g está nos reais. Ou seja, g recebe um ponto do R 3 e devolve um número real.

Também foi falado que:

P , W ∈ R 3 × R : W = 4 - x 2 - y 2 - z 2

Basicamente, o ponto P é um ponto do R 3 . Se aplicarmos esse ponto P = ( x , y , z ) em W , vamos ter:

W = 4 - x 2 - y 2 - z 2

O resultado é um número real, que é justamente a imagem da nossa função g .

Conseguiram entender?

Nesse contexto precisamos calcular o domínio da função g . Ou seja, encontrar o conjunto de pontos que representa o domínio de g .

Depois disso, iremos traçar um esboço do sólido que representa o domínio de g .

Vem com a gente 😊

Passo 2

Vimos que o domínio de g é dado por um ponto P no R 3 tal que:

P = ( x , y , z )

Beleza?! Mas, o valor que g irá retornar é dado pela expressão:

4 - x 2 - y 2 - z 2

Precisamos investigar as restrições que podem ocorrer nessa expressão em função dos valores de x , y e z .

Como trata-se de uma raiz quadrada, sabemos que o termo no seu interior não pode ser negativo. Ou seja:

4 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

Daí:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Essa é justamente a equação de uma esfera no R 3 , centrada em ( 0,0 , 0 ) e cujo raio vale 2 .

Isso significa que os pontos que pertencem ao domínio de g estão na superfície ou no interior dessa esfera.

Logo, o domínio de g pode ser escrito como:

D g = x , y , z ∈ R 3     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 }

Além disso, esboçando essa esfera no R 3 , temos a seguinte figura:

Prontinho! Com isso finalizamos a questão!

Valeeu pessoal 😊

Resposta

D g = x , y , z ∈ R 3     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 }

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1