Para a função f : D C R 2 → R com fórmula f x , y = x + 2 y - x + 3 y + 1

a) Determine o domínio máximo dessa função.

b) Esboce as curvas de nível c = 0 , c = 1 e c = 2 para essa função no mesmo plano.

c) Existe um ponto (a,b) no qual essas 3 curvas de nível parece se encontrar. Encontre esse ponto e explique como é possível.

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Primeiro, no item a), vamos determinar o domínio máximo dessa função:

f x , y = x + 2 y - x + 3 y + 1

Mas veja, o domínio dessa função são todos os possíveis (porque não temos quase nenhuma restrição pra ela), exceto com uma única restrição. Essa restrição é para o dominador ser igual a 0. Porque aí gera uma indeterminação e a função não existe nesse ponto. Logo o domínio é:

D = R 2 - x - 3 y = 1

Passo 2

Show, agora precisamos esboçar 3 curvas de nível pra essa função. Você sabe como são definidas as curvas de nível? Elas são as curvas que fazem o contorno da região da função f ( x , y ) . Nós encontramos elas a partir de um c , que ao substituir o f ( x , y ) por algum c inteiro, temos:

c = x + 2 y - x + 3 y + 1

E por exemplo, ao aplicarmos o ponto c = 0 , como a questão pede, temos:

c = x + 2 y - x + 3 y + 1

0 = x + 2 y - x + 3 y + 1

Isso implica que:

x + 2 y = 0

Esboçando essa reta no gráfico, temos:

Semelhantemente, para c = 1 , obtemos a seguinte reta:

c = x + 2 y - x + 3 y + 1

1 = x + 2 y - x + 3 y + 1

Isso implica que:

2 x - y = 1

Representando graficamente:

Belezinha, tamo quase lá. Pra gente finalizar, aplicando c = 2 :

c = x + 2 y - x + 3 y + 1

2 = x + 2 y - x + 3 y + 1

Isso implica que:

3 x - 4 y = 2

Representando no nosso gráfico:

E como o item c) deu o spoiler, a gente tem um ponto onde essas 3 curvas de nível parece se encontrar.

Passo 3

Show, bora encontrar esse ponto então. Mas, olha que sacada interessante, se a gente notar as curvas de nível como:

x + 2 y = 0   ( 1 )

2 x - y = 1 2

3 x - 4 y = 2   ( 3 )

Elas podem ser representadas por: (lembrando que a notação “(3)” significa a equação (3), que eu citei nesse passo)

3 = 2 ⋅ 2 - ( 1 )

Portanto, isso se caracteriza como um sistema redundante. Ou seja, basta relacionarmos a eq (3) com a (2), ou a eq (3) com a (1), ou a eq (2) com a (1). Não precisamos relacionar 3 equações. Logo, para:

{ x + 2 y = 0   2 x - y = 1  

Encontramos que:

x = 2 5

y = - 1 5

Isso implica que o ponto P nas coordenadas ( a , b ) é representado por:

P = 2 5 ,   - 1 5

Passo 4

Belezura... mas como isso é possível? Estamos literalmente pegando 3 curvas que estão em “altitudes diferentes”:

0 = x + 2 y - x + 3 y + 1

1 = x + 2 y - x + 3 y + 1

2 = x + 2 y - x + 3 y + 1

E ainda assim elas se encontram em um ponto. Isso a primeira vista, não faz sentido mesmo. E sabe o mais estranho ainda? Se você aplicar esse ponto

P = 2 5 ,   - 1 5

Na região do domínio onde a função não é determinada:

D = R 2 - x - 3 y = 1

Obtemos:

x - 3 y = 1

x = 2 / 5

y = - 1 / 5

2 5 - 3 ⋅ - 1 5 = 1

1 = 1

Ou seja, o ponto P nem pertence ao domínio da função, e ainda assim faz com que 3 curvas de nível se encontrem nele.

Passo 5

Calma little padawan. A figura do passo 2 representa somente o ponto aonde as curvas de nível, ao serem projetadas no plano ( x , y ) , se encontram. Ela não representa um ponto que de fato esteja contido na função. Ou seja, f ( x , y ) ainda é indeterminado na região, somente as curvas de nível se tocaram propositalmente nesse ponto, pra tentar pregar uma peça no aluno e fazer com que a gente aprenda mais esse conceito de curva de nível. Felizmente, o aluno do R.A é preparado pra qualquer pegadinha HAHAHAHA.

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

a )   D = R 2 - x - 3 y = 1

b )   P = 2 5 ,   - 1 5

c )   r e s p o s t a   n o   p a s s o   5

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1