1. Caso existam, defina as funções f + g , f g , ( f o g ) e ( g o f ) nos casos dados a seguir. Em cada caso, determine o domínio da função resultante.

(b) f x = x + 1 x - 1 ; g x = 1 x   .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos duas funções f x = x + 1 x - 1 e g x = 1 x e nosso objetivo é calcular f + g , f g , ( f o g ) e ( g o f ) .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para obter f + g , simplesmente somamos os termos de f com os termos de g .

Já para obter f / g , dividimos os termos de f pelos termos de g .

Agora, para obter as funções compostas f o g e g o f , substituímos x por g x em f x para obter f o g e substituímos x por f x em g x para obter g o f .

Depois de obter esses resultados, ainda temos que determinar o seu domínio, ou seja, os possíveis valores para x .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter f + g , somando f x + g x , temos

f + g = x + 1 x - 1 + 1 x

f + g = x + 1 x - 1 + 1 x

Nessa função, podemos ver duas restrições para valores de x ... em uma fração polinomial, o denominador não pode ser 0 , pois divisão por 0 não existe. Logo x - 1 não pode ser igual a 0 e x não pode ser igual a 0

D o m f + g = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1

Agora vamos obter f / g , fazendo f x / g x

f g = x + 1 x - 1 1 x

Calculando os extremos pelos meios...

f g = x x + 1 x - 1

O mesmo serve para esse caso, x - 1 não pode ser igual a 0 .

D o m f g = x ∈ R x ≠ 1

Dessa vez vamos obter f o g , substituindo x por g x em f x

f o g = g x + 1 g x - 1

f o g = 1 x + 1 1 x - 1

Multiplicando em cima e embaixo por x

f o g = 1 x + 1 x 1 x - 1 x   = x + 1 - x + 1

f o g = x + 1 1 - x

Segundo que já vinhamos dizendo... 1 - x não pode ser igual a 0

D o m f o g = x ∈ R x ≠ 1

E por fim, vamos obter g o f substituindo x por f x em g x

g o f = 1 f x

g o f = 1 x + 1 x - 1

g o f = x - 1 x + 1

E o mesmo serve aqui.

D o m g o f = x ∈ R x ≠ - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f + g = x + 1 x - 1 + 1 x → D o m f + g = x ∈ R x ≠ 0 ,   x ≠ 1 f g = x x + 1 x - 1 → D o m f g = x ∈ R x ≠ 1 f o g = x + 1 1 - x → D o m f o g = x ∈ R x ≠ 1 g o f = x - 1 x + 1 → D o m g o f = x ∈ R x ≠ - 1

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