Responde Aí

Passo 1

O primeiro passo é entender o problema: temos uma questão de lei de Ampère. Nesse tipo de questão uma corrente gera ao seu redor um campo magnético.

Na região dentro do maior cilindro, temos 0 < r < a e, nessa região, apenas o fio central gera campo magnético. Isso porque uma curva amperiana traçada nessa região só irá envolver o fio pequeno.

Já nas demais regiões, precisamos considerar o cilindro maior.

Passo 2

Começando pela região mais tranquila: a da letra (a). Temos que o campo gerado vale:

B 0 < r < a . 2 . π . r = μ 0 . i

Isolando o campo temos:

B 0 < r < a = μ 0 . i 2 . π . r

Esse é o módulo do campo, gerado pela corrente que viaja da esquerda para a direita.

Passo 3

Olha, sendo bem direto: a segunda região mais tranquila é a que envolve todas as correntes. A região da letra (c): b < r < ∞ . Pensem comigo: se a gente ficar uma linha que envolve tudo da figura (essa linha é a tal da superfície amperiana), então, quanto de corrente total vamos ter dentro da linha?

Temos i andando para a direita no caso do fio e i andando para a esquerda no caso da casca cilíndrica. Somando isso tudo temos:

i i n t e r n o = i - i = 0

As corrente se cancelam porque elas caminham em sentidos opostos. Como não temos corrente dentro da linha amperiana, não temos também campo magnético na região da letra (c)!

Passo 4

Guardar o pepino pro final é uma forma de garantir primeiro os pontos mais importantes da prova. Vamos agora fazer a letra (b), que dá um pouquinho mais de trabalho.

A pergunta chave nessa parte é a seguinte: se a curva amperiana estiver dentro da casca cilíndrica, passando na região da letra (b) e se ela for circular. Quanto de corrente vamos ter dentro dela?

  • Temos - i do fio menor, passando lá no meio do eixo
  • Temos uma corrente que não sabemos, mas que passa por uma área igual a π . ( r 2 - a 2 )

OK. Não sabemos ainda a corrente que passa nessa região delimitada do cilindro, mas sabemos que a corrente está uniformemente distribuída certo?

Então, a densidade de corrente da casca cilíndrica vale:

σ C I L I N D R O = i π . ( b 2 - a 2 )

Essa densidade multiplicada pela área delimitada é igual à corrente que queíamos no segundo ponto que vimos aqui em cima:

i C I L I N D R O = π . r 2 - a 2 . i π . ( b 2 - a 2 ) = i . r 2 - a 2 b 2 - a 2

Passo 5

Para finalizar a letra (b), o lance agora é somar a corrente do cilindro com a corrente do fio. Lembrando que essas correntes tem orientações opostas, por isso, vamos diminuir ok?

i L E T R A   B = i - i r 2 - a 2 b 2 - a 2 = i . b 2 - r 2 b 2 - a 2

Pela Lei de Ampère:

2 . π . r . B a < r < b = μ 0 . i . b 2 - r 2 b 2 - a 2 → B a < r < b = μ 0 . i 2 . π . r . b 2 - r 2 b 2 - a 2

Resposta

(a)   B 0 < r < a = μ 0 . i 2 . π . r

(b) B a < r < b = μ 0 . i 2 . π . r . b 2 - r 2 b 2 - a 2

(c)   B r > b = 0

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