Um cabo coaxial é formado por um cilindro circular reto, condutor, maciço, de raio a e uma casca cilíndrica condutora de raio b   ( b > a ) , coaxial ao cilindro. Uma corrente estacionária de intensidade I flui ao longo do eixo do cilindro, uniformemente distribuída sobre sua seção transversal, e uma corrente estacionária de mesma intensidade flui ao longo da casca cilíndrica, em sentido oposto à do cilindro.

( c ) A partir do resultado acima, determine a auto-indutância por unidade de comprimento deste cabo.

Passo 1

Oiie tudo bem?

O sistema que o enunciado descreve um sistema que pode ser visto da seguinte forma

imagine que o círculo de raio b é o corte transversal da casca cilíndrica e tem uma corrente que aponta para dentro da tela, e que o disco no interior é o corte transversal do cilindro maciço em seu interior com uma corrente que sai da tela! A intensidade desta corrente é I tanto na superfície cilíndrica quanto no cilindro maciço, e temos a informação adicional que a corrente é uniformemente distribuída transversalmente pelo cilindro, ou seja

J = d I d A = c t e

em que J é a densidade de corrente e A é uma área transversal! Esta alternativa nos pede

( c ) A partir do resultado acima, determine a auto-indutância por unidade de comprimento deste cabo.

O resultado acima citado é o fluxo magnético calculado na alternativa anterior, temos que

ϕ = μ 0 I l 2 π l n ( b a )

Isso nos dá a resposta quase que diretamente! Precisamos lembrar que a auto-indutância é constante de proporcionalidade da força-eletromotriz com a variação da corrente que passa pelo cabo! Ou seja

ℰ = - L d i d t

Vamos usar essa informação e a lei de Faraday-Lenz para identificar quem é L ! Saca só!

Passo 2

Se derivarmos o fluxo em relação ao tempo, e considerarmos que I = I ( t ) , temos que

∂ ϕ ∂ t = μ 0 l 2 π l n ( b a ) ∂   I ( t ) ∂ t

Usando que

ℰ = - ∂ ϕ ∂ t

obtemos

ℰ = - μ 0 l 2 π l n ( b a ) d i d t

Note que podemos comparar a expressão do passo 1 com a obtida aqui e dizer que

L = μ 0 l 2 π l n ( b a )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L = μ 0 l 2 π l n ( b a )

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