(Capítulo 29 – Problemas Adicionais – Exercício 87c) A figura 29-87 mostra uma seção reta de um cabo coaxial longo de raios a , b e c . Corrente i de mesmo valor e sentidos opostos estão uniformemente distribuídas nos dois condutores. Escreva expressões para o módulo do campo magnético B r em função da distância radial r (c) para b < r < a .

Passo 1

Oii pessoal, vamos lá pra mais uma?

Queremos encontrar o campo magnético para r < b < a em um cabo longo de raios a ,   b e c

A lei de Àmpere é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria. De acordo com ela:

∮ B . d S = μ o i e n v

O círculo do sinal de integral indica que a integração do produto escalar B → ⋅ d S → deve ser realizada para uma curva fecahda, conhecida como amperiana. A corrente i e n v é a corrente total envolvida pela curva fechada. Essa corrente tamém pode ser escrita como:

i e n v = j ⋅ Á r e a

onde j é a densidade de corrente na curva fechada.

Passo 2

Para determinarmos o campo magnético em pontos situados no interior do fio, podemos usar uma amperiana de raio r por dentro do fio, conforme a figura abaixo.

Da lei de Àmpere:

∮ B . d S = B 2 π r

Para calcular o lado direito da lei de Àmpere, observamos que, como a distribuição de corrente é uniforme, a corrente i e n v envolvida pela amperiana é proporcional à área envolvida pela curva, ou seja,

i e n v = i π r 2 π R ²

Usando a regra da mão direita, vemos que o sinal de i e n v é positivo e, portanto, de acordo com a lei de Àmpere,

B 2 π r = μ o i π r 2 π R 2

B = μ o i 2 π R 2 r

Passo 3

Para b < r < a , temos a contribuição do fio condutor e do cabo coaxial. Assim:

B = μ o i 2 π r - μ o i 2 π r ⋅ r 2 - b 2 a 2 - b 2 = μ o i 2 π r ⋅ a 2 - r 2 a 2 - b 2

Fechou?

Resposta

A expressão para b < r < a é:

B = μ o i 2 π r ⋅ a 2 - r 2 a 2 - b 2

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