4 – Uma casca condutora cilíndrica muito longa de raio interno R i n e raio externo R o u t transporta a corrente I distribuída uniformemente por toda a área de sua seção transversal, entre R i n e R o u t (ver a figura abaixo). Derive uma expressão para a magnitude do campo magnético devido a esta corrente, como uma função da distância radial r do eixo central, para cada uma das seguintes regiões:

b) R i n < r < R o u t

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma casca cilíndrica de raio interno R i n e raio externo R o u t . Nessa casca flui uma corrente I distribuída homogeneamente em sua seção transversal.

A partir desse sistema, queremos obter a magnitude do campo magnético em um ponto r dado que r está R i n e R o u t .

Como fazemos isso? Tem alguma ideia?? 🤔

Pela Lei de Ampère, a integral de linha fechada do campo magnético é dada pelo produto entre μ 0 e a corrente envolvida na região fechada de interesse. Lembra disso?

Vamos partir dessa ideia! Bora lá! 😁

Passo 2

De maneira mais prática, a Lei de Ampére diz

∮ C B d l = μ 0 · I e n v

Primeiro vamos calcular a integral ∮ C B d l , como B é constante, podemos tirá-la da integral

B ∮ C d l

E o que é ∮ C d l ? Essa integral não é o comprimento da nossa região de raio r ?

Lembrando do comprimento de uma circunferência, podemos dizer que

B ∮ C d l = B 2 π r

Substituindo na equação...

∮ C B d l = μ 0 · I e n v

B 2 π r = μ 0 · I e n v

B = μ 0 I e n v 2 π r

O segredo aqui é obter a corrente envolvida I e n v . Pra isso, vamos usar a ideia de densidade de corrente J .

Se J = I A , então

J = I A = I e n v A '

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Como nossa área A varia entre R i n e R o u t , então se a área de um círculo é dada por π R 2 vamos obter...

A = π R o u t 2 - π ( R i n ) ²

A = π R o u t 2 - R i n 2

Já a área A ' é a área da região de interesse menos a região que não temos corrente, ou seja

A ' = π r 2 -   π ( R i n ) ²

A ' = π r 2 -   R i n 2

Fazendo essas substituições...

I π R o u t 2 - R i n 2 = I e n v π r 2 -   R i n 2

Isolando I e n v

I e n v = I π r 2 -   R i n 2 π R o u t 2 - R i n 2

Simplificando...

I e n v = I r 2 -   R i n 2 R o u t 2 - R i n 2

Por fim, substituindo I e n v em B , vamos obter

B = μ 0 I e n v 2 π r

B = μ 0 I r 2 -   R i n 2 R o u t 2 - R i n 2 2 π r

B = μ 0 I r 2 -   R i n 2 2 π r R o u t 2 - R i n 2

E essa equação nos resulta no campo magnético a uma distância r do eixo central da casca cilíndrica.

Faz sentido essa equação? Vamos ver...

Se r for igual a R i n , o numerador zera, ou seja, não há campo magnético! Correto.

Se r for igual a R o u t , após algumas simplificações, temos

B = μ 0 I 2 π R o u t

O que também faz sentido! Logo essa resposta é válida.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

B = μ 0 I r 2 -   R i n 2 2 π r R o u t 2 - R i n 2

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