Responde Aí

Caso 1

O gráfico mostra o comportamento do módulo B do campo magnético criado por um fio retilíneo cilíndrico muito longo como função da distância radial r até seu eixo de simetria. Para r ≤ 2,0   m m , B ( r ) é linear. Para r > 2,0   m m , a função é inversamente proporcional a r .

  1. A densidade de corrente J é uniforme dentro do fio? Justifique a sua resposta cuidadosamente usando a lei de Ampère.
  2. Suponha, agora, que a corrente no fio sentido - z ^ e que a densidade de corrente J seja uniforme. Calcule o vetor   J → , em m A / m m 2 .
  3. Caso 2

    Considere, agora, uma espira em forma de trapézio (figura abaixo), que tem dois lados paralelos entre si e também paralelos a um fio muito longo pelo qual passa uma corrente I .

    Pela espira circula uma corrente I 0 no sentido horário, mas seus lados não paralelos estão blindados do campo magnético causado pelo fio. O segmento da espira mais próximo ao fio L A e está à distância a do fio, e o segmento mais distante mede L B e está à distância b do fio.

  4. Em função de a e b , calcule a razão L A / L B de modo que a força magnética resultante do fio sobre a espira seja nula.

Passo 1

a) Para respondermos este item, precisamos encontrar qual é o valor da densidade de corrente J .

Na região dentro do cilindro, para a qual temos r < 2,0   m m , o campo magnético tem comportamento linear. Por isso, podemos escrever esse campo como B ( r ) = α r , o que mostra que ele só depende da componente radial r , ou seja, tem simetria radial.

Para nos ajudar na desenvolvimento das contas, vamos olhar para a figura abaixo, que mostra o perfil do cilindro com a curva fechada (amperiana) de raio r < 2,0   m m . Colocamos, para facilitar nossas contas, ambos os vetores densidade de corrente  j → ( r ) e a área  d A → entrando no cilindro e paralelos um ao outro.

Além disso, a circunferência de raio r orientada no sentido horário é a nossa amperiana, cujo vetor  d l → é paralelo ao campo  B → em todos os pontos. Pela simetria, como vimos, esse campo depende apenas de r e tem o mesmo valor em todos os pontos da amperiana.

Pausa para Sugestão: sempre tente identificar essas características do vetores no problema que você tiver resolvendo, porque isso te dá segurança na hora de aplicar a lei de Ampère. Beleza? Apesar do textão aí em cima, vale a pena ler essa parte com calma para fixar as ideias...

Passo 2

a) Continuação...

Depois desse passo (MUITO IMPORTANTE!!) de identificar as simetrias e os vetores envolvidos no problema, vamos juntar tudo e jogar dentro da lei de Ampère. Fazendo isso, temos:

∮ C B → ⋅ d l → = ∫ B ( r ) d l = B r ∫ d l = B r 2 π r = μ 0 I i n t   ,

em que I i n t é a corrente que atravessa a área delimitada e podemos calculá-la como:

I i n t = ∫ J → ⋅ d A → = ∫ 0 r J r ' ( 2 π r ' d r ' ) ,

já que   j → é paralelo a   d A → .

Colocando essa expressão na lei de Ampère e lembrando B = α r para r < 2,0   m m , temos:

α r 2 π r = 2 π μ 0 ∫ 0 r J r ' r ' d r '   ⇒ α r 2 = μ 0 ∫ 0 r J r ' r ' d r '   .

Agora, vamos fazer o seguinte: derivar ambos os lados dessa última equação com relação a r . Derivando o lado esquerdo primeiro, temos: 2 α r . Moleza, né?

Seguindo e derivando o lado direito, que é uma função de r escrita em termos de uma integral, obtemos que o resultado é o integrando ( = J r ' r ' ) aplicado em r , ou seja, J ( r ) r . Isso que acabamos de fazer é o chamado “Teorema Fundamental do Cálculo”.

Igualando esses resultados, temos:

2 α r = μ 0 J r r ⇒ J r = 2 α μ 0 = J 0   ,

que mostra para nós que a função densidade de corrente J ( r ) tem o mesmo valor J 0 = 2 α / μ 0 para todo r , ou seja, é uma densidade de corrente uniforme.

Passo 3

b) Do gráfico que o problema dá, a gente vê que o coeficiente angular da reta α é dado por:

α = 8,0   ×   10 - 5   T 2,0   ×   10 - 3   m = 4 × 10 - 2 T m   .

Jogando na expressão que encontramos no final do Passo 1, obtemos:

J 0 = 2 α μ 0 = 2 π × 10 5 A m 2   .

O vetor densidade de corrente é, então,

J → = J 0   r ^ = 2 π × 10 5 A m 2 r ^   .

Passo 4

c) Aqui no Caso 2, o campo magnético produzido pela corrente I do fio infinito é perpendicular a ambos os fios de comprimento L A e L B e está entrando no plano da página. O que muda é a intensidade desse campo sobre cada um desses fios do trapézio.

No fio à distância a de I , o módulo do campo é:

B a = μ 0 I 2 π a   ,

e tem a mesma intensidade em toda a extensão de L A , e no ponto à distância b de I ,

B b = μ 0 I 2 π b   ,

que tem o mesmo valor em todo o comprimento L B .

Como a corrente I 0 tem sentido diferente nos fios L A e L B do trapézio, a força em cada um deles também tem a mesma direção, porém sentidos diferentes. Para que a força resultante no trapézio seja nula, os módulos dessas forças nos fios L A e L B devem ser iguais.

Portanto,

F L A = I L A μ 0 I 2 π a = F L B = I L B μ 0 I 2 π b   ,

que simplificada, nos dá o seguinte resultado:

L A L B = a b   .

Resposta

  1. J r = 2 α μ 0 = J 0 ,     α > 0   c o n s t a n t e   ;
  2. J → = J 0   r ^ = 2 × 10 5 π   A m 2 r ^     ;
  3. L A L B = a b   .

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