8 . Um cilindro condutor infinito, de seção transversal circular de raio R , possui uma densidade de corrente estacionária, mas não-uniforme dada por J → s = J 0 s 2 / R 2 z ^ , onde J 0 é uma constante positiva, s é a distância até o eixo do cilindro e z ^ é o vetor unitário da direção paralela ao eixo do cilindro. Nessa situação, podemos afirmar que o campo magnético produzido pelo cilindro em pontos dentro dele tem módulo proporcional a:

Escolha uma:

a . s 2

b . 1 / s 3

c . s 3

d . s 4

e . 1 / s 2

f . 1 / s

g . 1 / s 4

h . s

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para esse problema vamos usar a lei de Ampere ao nosso favor, só que de uma forma que envolva a densidade de corrente, ela tem a seguinte cara:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 ∬ S J → ⋅ n → d S

Onde a integral do lado esquerdo é sobre uma curva amperiana circular de raio s < R , então ela está dentro do cilindro. E a integral a esquerda é a integral de área dessa curva.

Vamos trabalhar em cima disso.

Passo 2

Primeiro vamos mexer com o lado esquerdo, temos:

∮ C B → ⋅ d l →

Como o campo é paralelo ao elemento de comprimento d l → da nossa curva, assim:

∮ C B → ⋅ d l → = ∮ C B   d l

Como o campo é homogêneo dentro do cilindro, temos:

B ∮ C d l

Essa integral vai nos dar o comprimento da nossa curva de raio s , assim:

B ∮ C d l = B 2 π s

Passo 3

Agora vamos mexer com o lado esquerdo, temos o seguinte:

∬ S J → ⋅ n →   d S

O vetor J → é paralelo ao vetor normal de área n → já que eles apontam na direção z .

O elemento de área d S para o caso de uma circunferência é dado por:

d S = s ' d s ' d θ

Onde temos s ' variando de 0 até s e θ de 0 até 2 π , assim temos que:

∬ S J → ⋅ n →   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 s J 0 s ' 2 R 2 s '   d s ' d θ

= J 0 R 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 s s ' 3   d s ' d θ

= J 0 R 2 s 4 4 2 π

Passo 4

Juntando tudo, temos que:

B 2 π s = J 0 R 2 s 4 4 2 π

⇒ B = J 0 R 2 s 3 4

Encontramos então um campo que é proporcional a s 3 , então nossa alternativa vai ser a letra c .

Resposta

c . s 3

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