Responde Aí

Um circuito condutor é composto por dois fios retilíneos semi-infinitos e uma parte circular, representados pelas linhas escuras, conforme mostrado na figura abaixo. Ele está contido no plano x - y e conduz uma corrente I no sentido indicado. Para x ≥ R e y ≥ R os trechos são retilíneos (fios semi-infinitos). Para x < R e y < R , o condutor tem a forme de três quartos de circunferência com raio R .

  1. Calcule o vetor campo magnético   B → na origem O devido aos segmentos lineares do fio.
  2. Calcule o vetor campo magnético   B → na origem O do sistema de coordenadas devido à parte circular.
  3. Determine o valor da integral ∮ C B → ⋅ d l → ao longo do percurso C indicado na figura.

Passo 1

a) Para resolvermos este item, considere a figura abaixo, em que só temos os segmentos lineares.

Os vetores d l → , que representam os elementos de comprimento, sempre estão na direção e sentido da corrente que passa no condutor. O vetor unitário  r ^ e o vetor distância  r → sempre são orientados partindo de   d l → em direção ao ponto onde queremos calcular o campo produzido por I . Dá uma olhada na figura acima e guarda isso, porque é muito importante para a utilização da lei de Biot-Savart.

A lei de Biot-Savart diz que o campo magnético d B → produzido por uma corrente I passando por elemento   d l → de um condutor é dada por:

d B → = μ 0 I 4 π d l →   ×   r ^ r → 2   .

Agora, no condutor que está sobre o eixo y da figura, o vetores   d l → e   r ^ são antiparalelos, ou seja, o ângulo entre eles é de 180 ˚ . Portanto,   d l →   ×   r ^ = 0 . Como todos os elementos   d l → desse condutor estão antiparalelos a   r ^ , o campo produzido pela corrente nesse condutor é nulo no ponto O .

Já no condutor sobre o eixo x , esses vetores são paralelos e também teremos   d l →   ×   r ^ = 0 . Da mesma maneira, esse condutor não produz campo sobre o ponto O . Por isso, o campo total no ponto O devido a esses segmentos é:

B → = 0   .

Passo 2

b) Já nesse caso do segmento circular, precisamos olhar com mais calma o produto vetorial   d l →   ×   r ^ . Para isso, vamos usar a figura abaixo, em que representamos cada um desses vetores.

Nesse caso, o vetor  d l → é tangente em todos os pontos do condutor e, por essa razão, é também sempre perpendicular ao vetor unitário r ^ que aponta para o ponto O em que queremos o campo magnético. Por isso, temos que

d l →   ×   r ^ = d l   - k ^ ⇒ d l → = R d θ ( - k ^ ) .

Além disso, o vetor   r → , que aponta na direção e sentido de   r ^ , tem o mesmo módulo em todos os pontos do condutor, já que estão à mesma distância R do ponto O . Então, podemos representá-lo como:   r → = R r ^ .

Juntando essas informações dentro da lei de Biot-Savart, teremos:

B → = μ 0 I 4 π   ∫ π 2 2 π R d θ R 2 ( - k ^ )   ⇒ B → = μ 0 I 4 π R   3 π 2   - k ^ ,  

que simplificada, fica:

B → = 3 μ 0 I 8 R - k ^   .

Passo 3

c) A lei de Ampère estabelece que:

∮ C B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t   ,  

em que I i n t é a corrente que atravessa a área definida pela curva fechada C . Na figura, as correntes que atravessam área dessa curva são tem mesmo módulo, mas sentidos contrários, o que dá para gente o seguinte:

I i n t = I + - I = 0   .

Por isso, a circulação do campo magnético, ou a integral de linha do campo magnético, ao longo de C é dada por:

∮ C B   → ⋅ d l → = 0   .

Resposta

  1. B → = 0   ;
  2. B → = 3 μ 0 I 8 R - k ^   ;
  3. I i n t = 0 ⇒ ∮ C B   → ⋅ d l → = 0   .  

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