Responde Aí

Em um condutor cilíndrico muito longo, maciço, de raio a passa uma corrente cuja densidade J varia linearmente com a distancia ao eixo do cilindro segundo a expressão J = J 0 r / a , onde J 0 é uma constante.

a ) Calcule a corrente I r através do disco de raio r mostrado na figura.

b ) Calcule o vetor B → para r < a .

c ) Calcule o vetor B → para r > a .

Passo 1

a ) Calcule a corrente I r através do disco de raio r mostrado na figura.

Por definição, a corrente e a densidade de corrente estão associados por:

J r = d I r d A

Logo:

I r = ∫ J r d A

Onde d A = 2 π r   d r é um pedaço infinitesimal da área. Portanto, fazendo as substituições, teremos:

I r = ∫ 0 r J 0 r a   2 π r   d r = 2 π J 0 a ∫ 0 r r 2   d r

I r = 2 π J 0 a r 3 3 0 r

I r = 2 π J 0 r 3 3 a

Passo 2

b ) Calcule o vetor B → para r < a .

Esse é um problema clássico de lei de Ampère, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Devido à geometria do problema, podemos simplificar essa expressão para:

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r  

Onde a corrente interna será a corrente que encontramos no item anterior. Logo:

B = μ 0 2 π r   2 π J 0 r 3 3 a

B = μ 0 J 0 r 2 3 a

O campo magnético tem a direção e sentido determinados pela regra da mão direita, logo:

B → = μ 0 J 0 r 2 3 a θ ^

Passo 3

c ) Calcule o vetor B → para r > a .

Para r > a , a amperiana vai envolver completamente o condutor, logo:

I = 2 π J 0 a 3 3 a = 2 π J 0 a 2 3

Assim, seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente, teremos:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r

Substituindo a expressão de I , teremos:

B = μ 0 2 π r 2 π J 0 a 2 3

B = μ 0 J 0 a 2 3 r

Finalmente:

B → = μ 0 J 0 a 2 3 r θ ^

Resposta

a )

I r = 2 π J 0 r 3 3 a

b )

B → = μ 0 J 0 r 2 3 a θ ^

c )

B → = μ 0 J 0 a 2 3 r θ ^

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