Responde Aí

Considere um fio condutor envolvido por uma camada cilíndrica condutora coaxial ao fio, de raio interno a e raio externo b (a região logo ao redor do fio, até a distância a , é vácuo). O fio é percorrido pr uma corrente i 1 , e a camada é percorrida por uma corrente i 2 uniformemente distribuída, na mesma direção de i 1 , mas com sentido oposto. Considere o fio e a camada como sendo muito longos.

a) Calcule a densidade de corrente j → na camada cilíndrica.

Calcule o módulo do campo magnético a uma distância r do fio (eixo da camada), tal que:

b) r < a .

c) a < r < b .

d) r > b .

Passo 1

Então pessoal, vamos começar lembrando o que é densidade de corrente. A definição matemática mais útil é essa aqui:

I = ∬ S j → ∙ d S →

O que essa integral diz? Que a densidade de corrente é a grandeza que, quando é integrado ao longo de uma superfície, te dá a corrente total que passa por ali.

Então beleza, no nosso caso a gente quer calcular a densidade de corrente na camada cilíndrica: aquela região pintada de cinza no desenho.

A corrente que passa por aquela camada é i 2 :

i 2 = ∬ S j → ∙ d S →

O vetor densidade de corrente tem a mesma direção da corrente. No nosso caso essa região é paralela à altura do cilindro.

E o elemento de área d S → é perpendicular à seção reta do cilindro, ou seja, paralelo à densidade de corrente.

Como os dois vetores são paralelos e apontam no mesmo sentido (a gente pode escolher o sentido do vetor d S → ), aquele produto interno fica assim:

j → ∙ d S → = j   d S

Passo 2

Vamos colocar isso na nossa integral:

i 2 = ∬ S j → ∙ d S →

i 2 = ∬ S j   d S

E a densidade de corrente é constante ao longo de toda a superfície S (que é aquele anel pintado de vermelho no desenho). Então podemos tirar j da integral:

i 2 = j   ∬ S d S

Agora essa integral virou simplesmente a área da superfície S :

i 2 = j   π b 2 - a 2

Só o que a gente fez aí foi usar a fórmula para área do círculo. Sabendo que o círculo de fora tem área π b 2 e o círculo de dentro tem área π a 2 .

Agora é só isolar j :

j = i 2 π b 2 - a 2

Passo 3

Beleza, qual é o próximo passo? O enunciado quer que a gente calcule o campo magnético produzido pela corrente no fio.

Vamos começar entendendo do que ele está falando.

Quando um fio é percorrido por uma corrente, surge um campo magnético em torno dele. A direção dele segue essa regra aqui:

Pra lembrar disso é só apontar seu polegar direito na direção da corrente: a direção em que seus outros dedos se curvam para fechar a mão é a “direção” do campo.

Atenção, isso é só uma forma de lembrar, o vetor campo magnético B → na verdade é tangente a essa trajetória em cada ponto:

A equação que dá a intensidade desse campo é a lei de Ampére:

∫ C B → ∙ d l → = μ I

Vamos ver como se usa essa equação na prática.

Passo 4

(b) Primeiro queremos calcular o campo magnético quando r < a . Lembrando que r aqui é a distância radial até o centro do fio.

Então tá, o primeiro passo pra usar a lei de Ampére é escolher uma curva C para a nossa integral.

Como a gente quer considerar a região r < a , vamos escolher uma circunferência que tem um raio nesse intervalo. Olhando de cima, vamos ficar com algo assim:

Então vamos voltar para a integral:

∫ C B → ∙ d l → = μ I

A corrente no fio está apontando para cima, então (como a gente mostrou no passo anterior) a direção do campo vai ficar assim:

Se a nossa integral percorrer a curva C no sentido anti-horário, então o elemento de comprimento d l → vai sempre ter a mesma direção e sentido do campo:

B → ∙ d l → = B   d l

Substituindo na integral:

∫ C B → ∙ d l → = μ I

∫ C B   d l = μ I

O campo é o mesmo em todos os pontos da curva, então:

B   ∫ C d l = μ   I

Agora essa integral do lado esquerdo é simplesmente o comprimento da circunferência C :

B 2 π r = μ I

O I é a corrente total que atravessa a circunferência. Nesse caso, essa é a corrente i 1 que passa no fio, então:

B 2 π r = μ i 1

B = μ i 1 2 π r

E o vetor campo magnético é simplesmente esse módulo B apontando na direção tangente à circunferência que a gente construiu. Vamos chamar essa direção de n ^ ( n de “normal” à trajetória), então:

B → = B n ^ = μ i 1 2 π r   n ^

Obs.: O enunciado pediu só o módulo do campo, mas precisamos da forma vetorial pra poder usar no próximo item.

Passo 5

(c) Agora a gente quer fazer a mesma coisa, mas para uma região maior:

a < r < b

Ou seja, agora estamos procurando o campo na região dentro da camada cilíndrica.

Bom, o campo gerado pelo fio continua o mesmo, então isso aqui continua valendo:

B → 1 = μ i 1 2 π r   n ^

Mas tem mais campo nessa história! O campo gerado pela corrente que passa na camada cilíndrica: vamos pensar só nele agora.

Tá, todo aquele raciocínio de antes continua valendo: vamos escolher uma curva C na região que foi pedida:

O que vai mudar agora em relação à conta que a gente fez antes?

Primeiro: a corrente que atravessa a camada está apontada para baixo! Então o campo produzido por ela está no sentido horário, e a gente optou por percorrer a curva no sentido anti-horário, então:

B → 2 ∙ d l → = - B 2   d l

Ou seja:

∫ C B → 2 ∙ d l → = μ I

- B 2 ∫ C d l = μ I

- B 2 2 π r = μ I

Ok, agora vem a segunda diferença: qual é a corrente total que atravessa a nossa curva C ?

Passo 6

Bom, a gente já considerou a corrente que passa pelo fio, então vamos olhar só a corrente que vem da camada mesmo.

Lá no item (a) nós calculamos a densidade de corrente na camada:

j = i 2 π b 2 - a 2

Se você multiplicar essa densidade de corrente pela área da camada que está contida na nossa curva C , vamos ter a corrente total que atravessa a curva!

I = j × ( á r e a   d a   c a m a d a )

Olhando pelo desenho ali de cima, dá pra ver que a área da camada (parte cinza), dentro da curva C é:

á r e a   d a   c a m a d a = π r 2 - π a 2

á r e a   d a   c a m a d a = π r 2 - a 2

Então:

I = j π r 2 - a 2

Substituindo com a fórmula da densidade j :

I = i 2 π b 2 - a 2 π r 2 - a 2 = i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2

Substituindo na fórmula lá de cima:

- B 2 2 π r = μ I

- B 2 2 π r = μ i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2

B 2 = - μ i 2 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2

Assim como fizemos antes, a versão “vetorial” desse campo é:

B → 2 = - μ i 2 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2   n ^

Agora é só juntar com o campo produzido pelo fio para achar o campo total nessa região:

B → = B → 1 + B → 2

B → = μ i 1 2 π r   n ^ - μ i 2 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2   n ^

Simplificando um pouco:

B → = μ 2 π r i 1 - i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2 n ^

E o módulo do campo magnético nessa região (como foi pedido) é:

B = μ 2 π r i 1 - i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2

Pronto!

Passo 7

(c) Beleza, agora só falta calcular o campo do lado de fora do conjunto todo:

r > b

Vamos dar mais uma olhada na equação que a gente escreveu para a região a < r < b :

B → = μ 2 π r i 1 - i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2 n ^

Quando a gente estiver bem na borda da região, onde r = b , olha o que acontece com o campo:

B → = μ 2 π b i 1 - i 2 b 2 - a 2 b 2 - a 2 n ^

B → = μ 2 π b i 1 - i 2 n ^

E conforme o raio aumenta ainda mais, a quantidade de corrente envolvida naquela nossa curva C não vai mudar!

Ou seja, o campo é:

B → = μ 2 π r i 1 - i 2 n ^

E tem módulo:

B = μ 2 π r i 1 - i 2

Resposta

(a) A densidade de corrente é j = i 2 π b 2 - a 2   .

(b) O módulo do campo na região r < a é B = μ i 1 2 π r   .

(c) O módulo do campo na região a < r < b é B = μ 2 π r i 1 - i 2 r 2 - a 2 b 2 - a 2 .

(d) O módulo do campo na região r > b é B = μ 2 π r i 1 - i 2 .

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