a ) A Figura abaixo mostra quatro correntes iguais a i e cinco linhas amperianas ( a , b , c , d , e   ) envolvendo estas correntes.

Calcule o valor da integral ∮ B → ∙ d s → ao longo das curvas amperianas nas direções dadas.

b ) Define-se densidade superficial de corrente elétrica a grandeza: J = d I d A , onde I é a corrente e A é a área da superfície considerada.

Considere agora um fio muito longo de seção circular e de raio a = 3   m m onde passa uma densidade de corrente J com direção paralela ao eixo central. O módulo desta densidade de corrente varia linearmente com o raio r do fio de acordo com a equação J = J 0 r a , onde J 0 = 300   A / m ² é uma constante. Determine, usando a lei de Ampere o campo magnético B em r = a 2 .

Passo 1

a ) Calcule o valor da integral ∮ B → ∙ d s → ao longo das curvas amperianas nas direções dadas.

Quando o problema pede para calcularmos a integral ∮ B → ∙ d s → , no fundo, ele tá implorando pra usarmos a lei de Ampère aqui, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Onde I i n t é a corrente envolvida pela amperiana.

Para saber se consideramos a corrente positiva ou negativa devemos levar em consideração o sentido da amperiana, usando a regra da mão direita.

Logo:

a ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 - i + i + i + i = 2 μ 0 i

b ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 - i + i + i - i = 0

c ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 - i + i - i - i = - 2 μ 0 i

d ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 + i + i + i + i = 4 μ 0 i

e ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 + i + i - i + i = 2 μ 0 i

Passo 2

b ) Considere agora um fio muito longo de seção circular e de raio a = 3   m m onde passa uma densidade de corrente J com direção paralela ao eixo central. O módulo desta densidade de corrente varia linearmente com o raio r do fio de acordo com a equação J = J 0 r a , onde J 0 = 300   A / m ² é uma constante. Determine, usando a lei de Ampere o campo magnético B em r = a 2 .

A lei de Ampère é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Devido à geometria do problema, podemos simplificar essa expressão para:

B 2 π r = μ 0 I i n t

B = μ 0 I i n t 2 π r

Então, antes de encontrarmos o valor de B , temos que encontrar uma expressão para a corrente.

Passo 3

Por definição, a corrente e a densidade de corrente estão associados por:

J r = d I r d A

Logo:

I r = ∫ J r d A

Onde d A = 2 π r   d r é um pedaço infinitesimal da área. Portanto, fazendo as substituições, teremos:

I r = ∫ 0 r J 0 r a   2 π r   d r = 2 π J 0 a ∫ 0 r r 2   d r

I r = 2 π J 0 a r 3 3 0 r

I r = 2 π J 0 r 3 3 a

Passo 4

Voltando ao problema, já tínhamos concluído que, de acordo com a lei de Ampère, o campo magnético é dado por:

B = μ 0 I i n t 2 π r

Onde:

I i n t = I r = 2 π J 0 r 3 3 a

Substituindo I i n t na expressão de B , teremos:

B = μ 0 2 π r   2 π J 0 r 3 3 a

B = μ 0 J 0 r 2 3 a

Agora tá bonito. O problema pediu para calcularmos o campo magnético para r = a / 2 , logo:

B = μ 0 J 0 3 a   a 2 2 = μ 0 J 0 3 a a 2 4

B = μ 0 J 0 a 12

Onde:

J 0 = 300 A m 2

a = 3   m m = 3 × 10 - 3   m

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T . m / A

Substituindo na expressão de B , teremos:

B = 4 π × 10 - 7 × 300 × 3 × 10 - 3 12

B = 3 π × 10 - 8 T

Resposta

a )

a ∮ C   B → ∙ d l → = 2 μ 0 i

b ∮ C   B → ∙ d l → = 0

c ∮ C   B → ∙ d l → = - 2 μ 0 i

d ∮ C   B → ∙ d l → = 4 μ 0 i

e ∮ C   B → ∙ d l → = 2 μ 0 i

b )

B = 3 π × 10 - 8 T

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