Responde Aí

Um fio condutor cilíndrico muito longo e de seção reta de raio a está envolto por uma casca cilíndrica condutora fina de raio b , formando um cabo coaxial cujo eixo coincide com o eixo z . Pelo fio passa uma corrente I , na direção positiva do eixo z , uniformemente distribuída através de sua seção reta. Na casca cilíndrica passa uma corrente total I , na direção negativa do eixo z , conforme a figura.

a ) Calcule o vetor campo magnético nos pontos onde 0 < r < a ( r é a distância do ponto até o eixo z ).

b ) Calcule o vetor campo magnético na região a < r < b .

c ) Calcule a integral ∮ B → ∙ d l → ao longo do quadrado de lado c > 2 b coaxial com o eixo z , conforme a figura.

Passo 1

a ) Calcule o vetor campo magnético nos pontos onde 0 < r < a ( r é a distância do ponto até o eixo z ).

Opa! Molezinha, hein!

Pra calcular o campo magnético, basta usar a Lei de Ampère:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Dada a geometria cilíndrica do problema, onde a nossa amperiana será uma circunferência de raio r , podemos simplificar a Lei de Ampère:

B 2 π r = μ 0 I i n t

B r = μ 0 I i n t 2 π r

Como a corrente está no sentido positivo do eixo z , usando a regra da mão direita, vemos que o vetor campo magnético será o seguinte:

B → r = μ 0 I i n t 2 π r   ϕ ^

Onde ϕ ^ é positivo no sentido anti-horário.

O nosso único problema aqui é determinar I i n t , mas como o problema disse que a corrente está uniformemente distribuída ao longo da seção reta do fio, basta usar uma regra de três pra facilitar a nossa vida:

I i n t I = π r 2 π a 2

I i n t = I r 2 a 2

Substituindo de volta na expressão que encontramos para o campo magnético:

B → r = μ 0 I 2 π r r 2 a 2   ϕ ^

B → r = μ 0 I r 2 π a 2 ϕ ^

Passo 2

b ) Calcule o vetor campo magnético na região a < r < b .

A ideia aqui é a mesma que usamos para o caso anterior, a geometria é a mesma... então o campo magnético para esse região terá a cara:

B → r = μ 0 I i n t 2 π r   ϕ ^

A diferença agora é que I i n t será toda a corrente do fio, logo:

I i n t = I

B → r = μ 0 I 2 π r   ϕ ^

Passo 3

c ) Calcule a integral ∮ B → ∙ d l → ao longo do quadrado de lado c > 2 b coaxial com o eixo z , conforme a figura.

Quando o cara pede pra calcular ∮ B → ∙ d l → , os que tem o mínimo de maldade no coração já vão sacar ele tá pedindo aqui pra usarmos a Lei de Ampère.

∮ B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Agora ficou fácil... para a corrente interna, só precisamos levar em conta as duas correntes que estão “dentro” do quadrado. Onde a corrente que está saindo, nós vamos considerar positiva, e a corrente que está entrando, nós vamos considerar negativa... logo:

I i n t = I - I = 0

Portanto:

∮ B → ∙ d l → = 0

Resposta

a )

B → r = μ 0 I r 2 π a 2 ϕ ^

b )

B → r = μ 0 I 2 π r   ϕ ^

c )

∮ B → ∙ d l → = 0

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