Responde Aí

Um fio condutor na figura abaixo conduz uma corrente I no sentido indicado. Para x ≥ R e y ≥ R os trechos são retilíneos e estão ao longo de x e y , respectivamente (fios semi- infinitos). Para x e y menores do que R , o condutor forma um quarto de círculo com raio R , conforme a figura 1.

a ) Quais são os campos B →   no ponto O devido aos segmentos retilíneos do fio?

b ) Qual é o campo B →   no ponto O devido ao segmento circular?

c ) Determine o valor da integral de linha do vetor B → ao longo do percurso circular fechado C não coplanar com os fios e centrado no eixo x , conforme a figura 2.

Passo 1

a ) Quais são os campos B →   no ponto O devido aos segmentos retilíneos do fio?

Pra determinar o campo formado pelos segmentos retilíneos, vamos ter que recorrer à Lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde d l → é um pedaço infinitesimal do segmento, cujo vetor aponta sempre na direção e sentido da corrente e r ^ é o vetor unitário que vai do elemento d l ao ponto onde queremos calcular o campo magnético.

Pra começar, vamos dar uma olhada em d l → e r ^ em cada segmento:

Daqui podemos ver que os vetores d l → e r ^ são paralelos (segmento horizontal) ou são anti-paralelos (segmento vertical).

Em ambos os casos:

d l → × r ^ = 0

Logo:

B → x = 0

B → y = 0

Passo 2

b ) Qual é o campo B →   no ponto O devido ao segmento circular?

Agora, vamos observar os vetores d l → e r ^ no segmento circular:

Daqui, podemos observar que o vetor d l → vai estar sempre tangente ao segmento circular, enquanto r ^ vai estar sempre apontando pro centro do segmento circular.

Usando a regra da mão direita, podemos dizer que

d l → × r ^ = d l   k →

Logo, substituindo na Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l r 2 k →

Onde r = R e I são constantes. Logo:

B → = μ 0 I 4 π R 2 ∫ corpo   d l k →

Essa integral vai calcular exatamente o tamanho do segmento circular, assim:

B → = μ 0 I 4 π R 2 π R 2   k →

B → = μ 0 I 8 R k →

Passo 3

c ) Determine o valor da integral de linha do vetor B → ao longo do percurso circular fechado C não coplanar com os fios e centrado no eixo x , conforme a figura 2.

A “integral de linha do vetor B → ao longo do percurso fechado circular C ” é a definição da Lei de Ampère, que é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Onde I i n t é a corrente que atravessa a curva C . Nesse caso, I i n t = I , logo:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I

Resposta

a )

B → x = 0

B → y = 0

b )

B → = μ 0 I 8 R k →

c )

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I

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